Logika/Negace

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Tato stránka je optimalizovaná pro zobrazení fontem STIX.

Zápor[editovat]

¬

Dosud jsme se setkali s konjunkcí a disjunkcí dvou vět. Teď je na řadě obrat „Není pravda, že …“. Např. souvětí „Není pravda, že prší“ obvykle zkracujeme pomocí záporu na „Neprší“. Pravdivostní hodnoty kladné a záporné věty jsou opačné. To znamená, že jedna z vět je pravda a druhá je lež. Nevíme však, která je která.

Spojení věty „Není pravda“ s větou 𝑝 pomocí spojky „že“ říkáme negace. I pro negaci máme zvláštní značku a to ¬, kterou píšeme před negovanou větu. Např. ¬𝑝 značí negaci věty 𝑝. Jiné značení vychází z anglického NOT, latinského NON případně matematického pruhu nad negovanou větou. Zápisy ¬𝑝, NOT 𝑝, NON 𝑝 a jsou tedy stejné.


Pravdivostní tabulka[editovat]

Pravdivostní tabulka negace vypadá následovně

𝑝 𝙾 𝙸
¬𝑝 𝙸 𝙾

Zákon negace negace[editovat]

Použijeme-li negaci dvakrát, dostáváme větu typu: „Není pravda, že není pravda, že prší“. Jaká je její pravdivostní hodnota? Sestavíme si tabulku pravdivosti.

𝑝 𝙾 𝙸 Prší
¬𝑝 𝙸 𝙾 Není pravda, že prší Neprší
¬¬𝑝 𝙾 𝙸 Není pravda, že není pravda, že prší Není pravda, že neprší Prší

Pravdivostní hodnoty dvojité negace jsou stejné jako pravdivostní hodnoty původní věty. To můžeme stručně zapsat jako ¬¬𝑝=𝑝.

Prší, nebo neprší?[editovat]

Položíme-li logikovi otázku „Prší, nebo neprší?“, odpoví „Ano“, aniž by se podíval z okna. A ještě ke všemu bude mít pravdu. Čím to?

Zkoumejme nyní souvětí složená z kladné a jí odpovídající záporné věty. Jako vždy si sestavíme pravdivostní tabulku.

𝑝 𝙾 𝙸 Prší
¬𝑝 𝙸 𝙾 Neprší
𝑝⊻¬𝑝 𝙸 𝙸 Prší, nebo neprší
𝑝∨¬𝑝 𝙸 𝙸 Prší nebo neprší
𝑝∧¬𝑝 𝙾 𝙾 Prší a neprší

A z tabulky vidíme, že použijeme-li ke spojení spojku „nebo“ dostaneme vždy pravdu, ať už prší nebo ne. Při použití spojky „a“ dostáváme vždy lež. Můžeme si to zapsat takto: 𝑝⊻¬𝑝=𝙸, 𝑝∨¬𝑝=𝙸 a 𝑝∧¬𝑝=𝙾.

De Morganova pravidla[editovat]

History of the Royal Astronomical Society - A. De Morgan

Jak negovat konjunkci a disjunkci? Sestavíme pravdivostní tabulku tentokrát pro dva výroky, tedy se čtyřmi sloupci pravdivostních hodnot.

𝑝 𝙾 𝙾 𝙸 𝙸 Prší
𝑞 𝙾 𝙸 𝙾 𝙸 Kvete bez
¬𝑝 𝙸 𝙸 𝙾 𝙾 Neprší
¬𝑞 𝙸 𝙾 𝙸 𝙾 Nekvete bez
𝑝∧𝑞 𝙾 𝙾 𝙾 𝙸 Prší a kvete bez
𝑝∨𝑞 𝙾 𝙸 𝙸 𝙸 Prší nebo kvete bez
¬(𝑝∧𝑞) 𝙸 𝙸 𝙸 𝙾
¬(𝑝∨𝑞) 𝙸 𝙾 𝙾 𝙾
¬𝑝∨¬𝑞 𝙸 𝙸 𝙸 𝙾 Neprší nebo nekvete bez
¬𝑝∧¬𝑞 𝙸 𝙾 𝙾 𝙾 Neprší a nekvete bez

Z takulky je patrné, že ¬(𝑝∧𝑞)=¬𝑝∨¬𝑞 a ¬(𝑝∨𝑞)=¬𝑝∧¬𝑞, což jsou hledaná De Morganova pravidla. Negací konjunkce je disjunkce negací. Negací disjunkce je konjunkce negací.

Pokračovat budeme kapitolou o implikaci.