Logika/Negace

Tato stránka je optimalizovaná pro zobrazení fontem STIX.

Zápor

¬

Dosud jsme se setkali s konjunkcí a disjunkcí dvou vět. Teď je na řadě obrat „Není pravda, že …“. Např. souvětí „Není pravda, že prší“ obvykle zkracujeme pomocí záporu na „Neprší“. Pravdivostní hodnoty kladné a záporné věty jsou opačné. To znamená, že jedna z vět je pravda a druhá je lež. Nevíme však, která je která.

Spojení věty „Není pravda“ s větou 𝑝 pomocí spojky „že“ říkáme negace. I pro negaci máme zvláštní značku a to ¬, kterou píšeme před negovanou větu. Např. ¬𝑝 značí negaci věty 𝑝. Jiné značení vychází z anglického NOT, latinského NON případně matematického pruhu nad negovanou větou. Zápisy ¬𝑝, NOT 𝑝, NON 𝑝 a ${\overline {p}}$ jsou tedy stejné.

Pravdivostní tabulka

Pravdivostní tabulka negace vypadá následovně

𝑝	𝙾	𝙸
¬𝑝	𝙸	𝙾

Zákon negace negace

Použijeme-li negaci dvakrát, dostáváme větu typu: „Není pravda, že není pravda, že prší“. Jaká je její pravdivostní hodnota? Sestavíme si tabulku pravdivosti.

𝑝	𝙾	𝙸	Prší
¬𝑝	𝙸	𝙾	Není pravda, že prší	Neprší
¬¬𝑝	𝙾	𝙸	Není pravda, že není pravda, že prší	Není pravda, že neprší	Prší

Pravdivostní hodnoty dvojité negace jsou stejné jako pravdivostní hodnoty původní věty. To můžeme stručně zapsat jako ¬¬𝑝=𝑝.

Prší, nebo neprší?

Položíme-li logikovi otázku „Prší, nebo neprší?“, odpoví „Ano“, aniž by se podíval z okna. A ještě ke všemu bude mít pravdu. Čím to?

Zkoumejme nyní souvětí složená z kladné a jí odpovídající záporné věty. Jako vždy si sestavíme pravdivostní tabulku.

𝑝	𝙾	𝙸	Prší
¬𝑝	𝙸	𝙾	Neprší
𝑝⊻¬𝑝	𝙸	𝙸	Prší, nebo neprší
𝑝∨¬𝑝	𝙸	𝙸	Prší nebo neprší
𝑝∧¬𝑝	𝙾	𝙾	Prší a neprší

A z tabulky vidíme, že použijeme-li ke spojení spojku „nebo“ dostaneme vždy pravdu, ať už prší nebo ne. Při použití spojky „a“ dostáváme vždy lež. Můžeme si to zapsat takto: 𝑝⊻¬𝑝=𝙸, 𝑝∨¬𝑝=𝙸 a 𝑝∧¬𝑝=𝙾.

De Morganova pravidla

Jak negovat konjunkci a disjunkci? Sestavíme pravdivostní tabulku tentokrát pro dva výroky, tedy se čtyřmi sloupci pravdivostních hodnot.

𝑝	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	Prší
𝑞	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	Kvete bez
¬𝑝	𝙸	𝙸	𝙾	𝙾	Neprší
¬𝑞	𝙸	𝙾	𝙸	𝙾	Nekvete bez
𝑝∧𝑞	𝙾	𝙾	𝙾	𝙸	Prší a kvete bez
𝑝∨𝑞	𝙾	𝙸	𝙸	𝙸	Prší nebo kvete bez
¬(𝑝∧𝑞)	𝙸	𝙸	𝙸	𝙾
¬(𝑝∨𝑞)	𝙸	𝙾	𝙾	𝙾
¬𝑝∨¬𝑞	𝙸	𝙸	𝙸	𝙾	Neprší nebo nekvete bez
¬𝑝∧¬𝑞	𝙸	𝙾	𝙾	𝙾	Neprší a nekvete bez

Z takulky je patrné, že ¬(𝑝∧𝑞)=¬𝑝∨¬𝑞 a ¬(𝑝∨𝑞)=¬𝑝∧¬𝑞, což jsou hledaná De Morganova pravidla. Negací konjunkce je disjunkce negací. Negací disjunkce je konjunkce negací.

Pokračovat budeme kapitolou o implikaci.