Logika/Disjunkce

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Tato stránka je optimalizovaná pro zobrazení fontem STIX.


Logický součet[editovat]

Z předchozí kapitoly známe logický součin neboli konjunkci. Šlo by kromě logického součinu mít i logický součet? Odpověď je kladná, ale má to drobný zádrhel. Zkusme počítat:

  • 𝙾+𝙾 = 𝙾
  • 𝙾+𝙸 = 𝙸
  • 𝙸+𝙾 = 𝙸
  • 𝙸+𝙸 = ?

Kolik je 𝙸+𝙸 ?[editovat]

Přece 1+1=2. To ví každý. Ale pravdivostní hodnotu 2 nemáme. Musíme si vystačit s nulou a jedničkou. Kterou však vybrat? Odpověď na tuto otázku není vůbec jednoduchá a tak budeme používat obě možnosti. Kromě operace + zavedeme ještě operaci ⊕, s tím, že

  • 𝙸+𝙸 = 𝙸
  • 𝙸⊕𝙸 = 𝙾

Souvětí se spojkou „nebo“[editovat]

∨ ⊻ ⊕

Pravdivostní hodnotu souvětí dvou vět s pravdivostními hodnotami 𝑝 a 𝑞, spojenými slučovací spojkou „nebo“ označíme 𝑝∨𝑞. Kromě znaménka ∨ se používá i anglické OR a latinské VEL. Protože hodnota 𝑝∨𝑞 odpovídá součtu 𝑝 a 𝑞, používá se pro tuto operaci i název logický součet a značí se 𝑝+𝑞. Zápisy 𝑝 ∨ 𝑞, 𝑝 OR 𝑞, 𝑝 VEL 𝑞 a 𝑝+𝑞 jsou tedy stejné. Této operaci budeme říkat disjunkce. Např. souvětí „Prší nebo kvete bez“ je disjunkcí dvou vět - věty „Prší“ a věty „Kvete bez“. Spojka „nebo“ je zde slučovací.

Spojka „nebo“ však může být i vylučovací, pak ji píšeme s čárkou. Např. souvětí „Prší, nebo kvete bez“. Vylučovací nebo značíme ⊻. Kromě znaménka ⊻ se používá i anglická zkratka XOR (eXclusive OR) a latinské AUT. Zápisy 𝑝 ⊻ 𝑞, 𝑝 XOR 𝑞, 𝑝 AUT 𝑞 a 𝑝⊕𝑞 jsou tedy stejné.

Upozorňujeme, že zejména v anglicky psaných právních textech se používá „OR“ ve smyslu vylučovacím a pro slučovací nebo se používá spojka „AND/OR“.

Pravdivostní hodnoty disjunkce[editovat]

Pravdivostní hodnoty disjunkce můžeme to zapsat i do pravdivostní tabulky:

𝑝 𝙾 𝙾 𝙸 𝙸
𝑞 𝙾 𝙸 𝙾 𝙸
𝑝∨𝑞 𝙾 𝙸 𝙸 𝙸
𝑝⊻𝑞 𝙾 𝙸 𝙸 𝙾

Vlastnosti disjunkce[editovat]

𝑝 ∨ 𝑞 = 𝑞 ∨ 𝑝[editovat]

Této vlastnosti, jak už víme, se říká komutativita. Např. souvětí „Prší nebo kvete bez“ má stejnou pravdivostní hodnotu jako „Kvete bez nebo prší“.

𝙸 ∨ 𝑝 = 𝙸[editovat]

Je-li jedna z vět disjunkce pravda, je výsledek pravda.

𝙾 ∨ 𝑝 = 𝑝[editovat]

Je-li jedna z vět disjunkce lež, je pravdivostní hodnota výsledku rovna pravdivostní hodnotě druhé věty.

𝑝 ∨ 𝑝 = 𝑝[editovat]

Opakováním věty se její pravdivost nemění. Stokrát opakovaná lež zůstává lží. Např. souvětí „Prší nebo prší“ má stejnou pravdivostní hodnotu jako obyčejné „Prší“.

Souvětí ze tří vět[editovat]

Pořadí operací[editovat]

Jaká je pravdivostní hodnota souvětí „Prší a kvete bez nebo rostou houby“? Toto souvětí se skládá ze tří vět, které mohou být pravda, nebo lež. Celkem je tedy osm různých možností. Sepišme si je do pravdivostní tabulky:


𝑝 𝙾 𝙾 𝙾 𝙾 𝙸 𝙸 𝙸 𝙸 Prší
𝑞 𝙾 𝙾 𝙸 𝙸 𝙾 𝙾 𝙸 𝙸 Kvete bez
𝑟 𝙾 𝙸 𝙾 𝙸 𝙾 𝙸 𝙾 𝙸 Rostou houby
𝑝∧𝑞 𝙾 𝙾 𝙾 𝙾 𝙾 𝙾 𝙸 𝙸 Prší a kvete bez
𝑞∨𝑟 𝙾 𝙸 𝙸 𝙸 𝙾 𝙸 𝙸 𝙸 Kvete bez nebo rostou houby
(𝑝∧𝑞)∨𝑟 𝙾 𝙸 𝙾 𝙸 𝙾 𝙸 𝙸 𝙸 𝑝𝑞+𝑟
𝑝∧(𝑞∨𝑟) 𝙾 𝙾 𝙾 𝙾 𝙾 𝙸 𝙸 𝙸 𝑝(𝑞+𝑟)
𝑝∧𝑞∨𝑟 𝙾 ? 𝙾 ? 𝙾 𝙸 𝙸 𝙸 Prší a kvete bez nebo rostou houby

Jak je patrno, výsledek záleží na pořadí prováděných operací, což jak je zvykem označujeme závorkou. V běžném jazyce se však závorky nepoužívají a to může vést k nedorozumění. V matematice má násobení přednost před sčítáním, takže obdobně má logický součin přednost před logickým součtem. Spojka „a“ by tedy měla mít přednost před spojkou „nebo“.

Roznásobení závorky[editovat]

Tak jako v matematice můžeme závorku roznásobit: 𝑝(𝑞+𝑟) = 𝑝𝑞+𝑝𝑟.

𝑝 𝙾 𝙾 𝙾 𝙾 𝙸 𝙸 𝙸 𝙸 Prší
𝑞 𝙾 𝙾 𝙸 𝙸 𝙾 𝙾 𝙸 𝙸 Kvete bez
𝑟 𝙾 𝙸 𝙾 𝙸 𝙾 𝙸 𝙾 𝙸 Rostou houby
(𝑝∧𝑞)∨𝑟 𝙾 𝙸 𝙾 𝙸 𝙾 𝙸 𝙸 𝙸 Prší a kvete bez nebo rostou houby
𝑝∧(𝑞∨𝑟) 𝙾 𝙾 𝙾 𝙾 𝙾 𝙸 𝙸 𝙸 Prší a kvete bez nebo prší a rostou houby

V Booleově algebře je možné závorku i rozsčítat: 𝑝+𝑞𝑟 = (𝑝+𝑞)(𝑝+𝑟).

Další Booleovou operací je negace.