Logika/Disjunkce

Tato stránka je optimalizovaná pro zobrazení fontem STIX.

Logický součet

Z předchozí kapitoly známe logický součin neboli konjunkci. Šlo by kromě logického součinu mít i logický součet? Odpověď je kladná, ale má to drobný zádrhel. Zkusme počítat:

• 𝙾+𝙾 = 𝙾
• 𝙾+𝙸 = 𝙸
• 𝙸+𝙾 = 𝙸
• 𝙸+𝙸 = ?

Kolik je 𝙸+𝙸 ?

Přece 1+1=2. To ví každý. Ale pravdivostní hodnotu 2 nemáme. Musíme si vystačit s nulou a jedničkou. Kterou však vybrat? Odpověď na tuto otázku není vůbec jednoduchá a tak budeme používat obě možnosti. Kromě operace + zavedeme ještě operaci ⊕, s tím, že

• 𝙸+𝙸 = 𝙸
• 𝙸⊕𝙸 = 𝙾

Souvětí se spojkou „nebo“

∨ ⊻ ⊕

Pravdivostní hodnotu souvětí dvou vět s pravdivostními hodnotami 𝑝 a 𝑞, spojenými slučovací spojkou „nebo“ označíme 𝑝∨𝑞. Kromě znaménka ∨ se používá i anglické OR a latinské VEL. Protože hodnota 𝑝∨𝑞 odpovídá součtu 𝑝 a 𝑞, používá se pro tuto operaci i název logický součet a značí se 𝑝+𝑞. Zápisy 𝑝 ∨ 𝑞, 𝑝 OR 𝑞, 𝑝 VEL 𝑞 a 𝑝+𝑞 jsou tedy stejné. Této operaci budeme říkat disjunkce. Např. souvětí „Prší nebo kvete bez“ je disjunkcí dvou vět - věty „Prší“ a věty „Kvete bez“. Spojka „nebo“ je zde slučovací.

Spojka „nebo“ však může být i vylučovací, pak ji píšeme s čárkou. Např. souvětí „Prší, nebo kvete bez“. Vylučovací nebo značíme ⊻. Kromě znaménka ⊻ se používá i anglická zkratka XOR (eXclusive OR) a latinské AUT. Zápisy 𝑝 ⊻ 𝑞, 𝑝 XOR 𝑞, 𝑝 AUT 𝑞 a 𝑝⊕𝑞 jsou tedy stejné.

Upozorňujeme, že zejména v anglicky psaných právních textech se používá „OR“ ve smyslu vylučovacím a pro slučovací nebo se používá spojka „AND/OR“.

Pravdivostní hodnoty disjunkce

Pravdivostní hodnoty disjunkce můžeme to zapsat i do pravdivostní tabulky:

𝑝	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸
𝑞	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸
𝑝∨𝑞	𝙾	𝙸	𝙸	𝙸
𝑝⊻𝑞	𝙾	𝙸	𝙸	𝙾

Vlastnosti disjunkce

𝑝 ∨ 𝑞 = 𝑞 ∨ 𝑝

Této vlastnosti, jak už víme, se říká komutativita. Např. souvětí „Prší nebo kvete bez“ má stejnou pravdivostní hodnotu jako „Kvete bez nebo prší“.

𝙸 ∨ 𝑝 = 𝙸

Je-li jedna z vět disjunkce pravda, je výsledek pravda.

𝙾 ∨ 𝑝 = 𝑝

Je-li jedna z vět disjunkce lež, je pravdivostní hodnota výsledku rovna pravdivostní hodnotě druhé věty.

𝑝 ∨ 𝑝 = 𝑝

Opakováním věty se její pravdivost nemění. Stokrát opakovaná lež zůstává lží. Např. souvětí „Prší nebo prší“ má stejnou pravdivostní hodnotu jako obyčejné „Prší“.

Souvětí ze tří vět

Pořadí operací

Jaká je pravdivostní hodnota souvětí „Prší a kvete bez nebo rostou houby“? Toto souvětí se skládá ze tří vět, které mohou být pravda, nebo lež. Celkem je tedy osm různých možností. Sepišme si je do pravdivostní tabulky:

𝑝	𝙾	𝙾	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	𝙸	𝙸	Prší
𝑞	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	Kvete bez
𝑟	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	Rostou houby
𝑝∧𝑞	𝙾	𝙾	𝙾	𝙾	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	Prší a kvete bez
𝑞∨𝑟	𝙾	𝙸	𝙸	𝙸	𝙾	𝙸	𝙸	𝙸	Kvete bez nebo rostou houby
(𝑝∧𝑞)∨𝑟	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	𝙸	𝙸	𝑝𝑞+𝑟
𝑝∧(𝑞∨𝑟)	𝙾	𝙾	𝙾	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	𝙸	𝑝(𝑞+𝑟)
𝑝∧𝑞∨𝑟	𝙾	?	𝙾	?	𝙾	𝙸	𝙸	𝙸	Prší a kvete bez nebo rostou houby

Jak je patrno, výsledek záleží na pořadí prováděných operací, což jak je zvykem označujeme závorkou. V běžném jazyce se však závorky nepoužívají a to může vést k nedorozumění. V matematice má násobení přednost před sčítáním, takže obdobně má logický součin přednost před logickým součtem. Spojka „a“ by tedy měla mít přednost před spojkou „nebo“.

Roznásobení závorky

Tak jako v matematice můžeme závorku roznásobit: 𝑝(𝑞+𝑟) = 𝑝𝑞+𝑝𝑟.

𝑝	𝙾	𝙾	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	𝙸	𝙸	Prší
𝑞	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	Kvete bez
𝑟	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	Rostou houby
(𝑝∧𝑞)∨𝑟	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	𝙸	𝙸	Prší a kvete bez nebo rostou houby
𝑝∧(𝑞∨𝑟)	𝙾	𝙾	𝙾	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	𝙸	Prší a kvete bez nebo prší a rostou houby

V Booleově algebře je možné závorku i rozsčítat: 𝑝+𝑞𝑟 = (𝑝+𝑞)(𝑝+𝑟).

Další Booleovou operací je negace.