Logika/Implikace

Tato stránka je optimalizovaná pro zobrazení fontem STIX.

Když prší, je mokro

⇒

Nyní se budeme zabývat souvětími se spojkou „když“. Tento vztah nazýváme implikace a značíme šipkou ⇒. Příkladem takového souvětí je: „Když prší, je mokro.“ Toto souvětí se skládá z věty „Prší“ a věty „Je mokro“. Význam souvětí je takový, že z toho, že prší, plyne, že je mokro. Zkusme to zapsat do pravdivostní tabulky.

𝑝	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	Prší
𝑞	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	Je mokro
𝑝⇒𝑞	𝙸	?	𝙾	𝙸	Když prší, je mokro

V případě, že prší a je mokro, je implikace, dle očekávání, pravdivá (4. sloupec tabulky). Také v případě, že neprší a není mokro, je implikace pravdivá. V případě, že by pršelo a nebylo mokro, je implikace lež. Co však s implikací v případě, že neprší a je mokro? Tuto situaci vystihuje druhý sloupec tabulky otazníkem. Co dosadit za otazník? Jedničku, nebo nulu?

Tím dostáváme dvě různé spojky podobně jako v případě spojky „nebo“. Ta s jedničkou je implikace, ta s nulou ekvivalence, kterou budeme značit ⇔.

Pravdivostní tabulka implikace a ekvivalence

𝑝	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	Prší
𝑞	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	Je mokro
𝑝⇒𝑞	𝙸	𝙸	𝙾	𝙸	Když prší, je mokro
𝑝⇔𝑞	𝙸	𝙾	𝙾	𝙸	Prší ⇔ je mokro

Vlastnosti implikace

Je implikace komutativní?

Čili jsou věty „Když prší, je mokro“ a „Když je mokro, prší“ stejné co do pravdivosti? Odpověď nalezneme v pravdivostní tabulce.

𝑝	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	Prší
𝑞	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	Je mokro
𝑝⇒𝑞	𝙸	𝙸	𝙾	𝙸	Když prší, je mokro
𝑞⇒𝑝	𝙸	𝙾	𝙸	𝙸	Když je mokro, prší

Vidíme, že se hodnoty v druhém a třetím sloupci liší. Implikace tedy není komutativní.

Směr šipky můžeme i otočit

𝑝	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	Prší
𝑞	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	Je mokro
𝑞⇒𝑝	𝙸	𝙾	𝙸	𝙸	Když je mokro, prší
𝑝⇐𝑞	𝙸	𝙾	𝙸	𝙸	Prší, když je mokro

Konjunkce implikací

Co se stane, když spojíme dvě implikace spojkou „a“? Čili souvětí typu (𝑝⇒𝑞)∧(𝑝⇐𝑞). Např. „Když prší, je mokro a prší, když je mokro.“

𝑝	𝙾	𝙾	𝙸	𝙸	Prší
𝑞	𝙾	𝙸	𝙾	𝙸	Je mokro
𝑝⇒𝑞	𝙸	𝙸	𝙾	𝙸	Když prší, je mokro
𝑝⇐𝑞	𝙸	𝙾	𝙸	𝙸	Prší, když je mokro
(𝑝⇒𝑞)∧(𝑝⇐𝑞)	𝙸	𝙾	𝙾	𝙸	Když prší, je mokro a prší, když je mokro
𝑝⇔𝑞	𝙸	𝙾	𝙾	𝙸	Prší právě tehdy, když je mokro

A vida, dostali jsme ekvivalenci! Šipka tam ⇒ a zase zpátky ⇐ je šipka na obě strany ⇔.

Pokračujme tedy zkoumáním ekvivalence.