Integrování/Výpočet reálných integrálů pomocí reziduové věty

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Při výpočtu reálných určitých integrálů bývá často výhodné je převést na komplexní integrály po uzavřených křivkách a spočíst pomocí reziduové věty. Existuje několik standardních postupů, které tento článek shrnuje.

Integrály <0;∞) funkce bez singularit na nezáporné reálné ose[editovat]

Komplexni-cesta-1.png

Integrály ve tvaru

kde funkce f(x) nemá singularity na intervalu . Tento integrál převedeme na integrál funkce komplexní proměnné

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle \int_{\gamma} f(z) z^a\,\mathrm{d}z=\int_{\gamma} f(z) e^{a \left(\operatorname{ln}|z\right|+i \operatorname{Arg\ }z\right)}\,\mathrm{d}z =I=I_1+I_2+I_3+I_4,}

Za integrační cestu zvolíme křivku podle obrázku. Jednotlivé úseky integrační cesty označíme v souladu s obrázkem jako integrály I1, I2, I3, I4, kde integrál I1 se shoduje s integrálem (*). Funkce Arg z je zvolena tak, že podél celého I1 je Arg z = 0. Aby funkce byla podél celé integrační cesty holomorfní, je nespojitost charakteristická pro funkce za zvolena podél reálné osy. Podél integrálu I3 je tedy Arg z = 2 π a, a proto

Za předpokladu tedy pokud f(z) za jde s rostoucím R k nule nejméně rychleji než 1/R, integrál I2 vymizí. Obdobně za předpokladu tedy že f(z) za jde s jdoucím k nule k nekonečnu alespoň pomaleji než , vymizí integrál I4. V souladu s předpokladem, že f(z) nemá v nule singularitu dostáváme podmínku .

Potom podle reziduové věty je

tedy integrál

což ovšem platí jen není-li a celé (potom by byl jmenovatel nulový a výraz nemá smysl). Pro celé a je potřeba vyšetřit, zda je možné prohození limity a integrálu - je-li tomu tak, výsledkem je limita tohoto výsledku.

Integrály (-∞;∞) funkcí bez singularit na reálné ose[editovat]

Komplexni-cesta-2.png

Integrály ve tvaru

kde funkce f(x) nemá singularity na intervalu . Zapíšeme jako integrál fuknce komplexní proměnné

kde γ je funkce na obrázku a I1 = (*). Lze-li aplikovat Jordanovo lemma, tedy za podmínky

kde maximum se počítá podél kružnice podle níž probíhá integrál I2, platí I2 = 0, tedy hodnota integrálu (*)=I1 je dána jako

Mnohdy se s výhodou dá použít fakt, že pro horní půlkružnici skoro všude platí

a že

Stačí tedy, aby funkce přenásobená exponenciálou ve tvaru výše klesala podél celé horní půlkružnice v absolutní hodnotě k nule, není již potřeba, aby klesala alespoň rychleji než .

Integrály <0;2π> racionálních výrazů z goniometrických funkcí[editovat]

Komplexni-cesta-3.png

Je-li integrál daný ve tvaru

kde R je racionální výraz funkcí sinus a kosinus, můžeme jej považovat za komplexní integrál po libovolné křivce délky 2 π. Nechť tato křivka je jednotková kladně orientovaná kružnice (viz obrázek). Převedeme jej na integrál komplexní proměnné podle identit

s parametrizací

Proto (po dosazení za dx a x) integrujeme

Pokud funkce uvnitř integrálu nemá na jednotkové kružnici singularity, spočteme jej jednoduše pomocí reziduové věty jako

Integrály (-∞;∞) se singularitami na imaginární ose[editovat]

Komplexni-cesta-4.png

Po integrační cestě (na obrázku) integrujeme funkce, které mají na imaginární ose singularity v libovolné vzdálenosti, a nelze tedy použít Jordanovo lemma. Pro použití následující integrační cesty je potřeba, aby integrály I2, I4 ve velké vzdálenosti vymizely a aby se dal integrál I3 napsat jednoduchou závislostí na integrálu I1 (což zpravidla znamená, že f(z) je nějak symetrická vůči posunu podél imaginární osy). Z výsledného výrazu a reziduové věty dopočítáme hodnotu integrálu I1.

Vzorce pro výpočet reziduí[editovat]

Přeloženo z anglické Wikipedie

Má-li holomorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

nebo přímo použitím reziduové věty

kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.

Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako

Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c a pól řádu n vyjádřeno jako:

Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |zc| < R }, potom Res[f]z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

Externí odkazy[editovat]