Integrování/Výpočet reálných integrálů pomocí reziduové věty

Při výpočtu reálných určitých integrálů bývá často výhodné je převést na komplexní integrály po uzavřených křivkách a spočíst pomocí reziduové věty. Existuje několik standardních postupů, které tento článek shrnuje.

Integrály <0;∞) funkce bez singularit na nezáporné reálné ose

Integrály ve tvaru

$\int _{0}^{\infty }f(x)x^{a}\,\mathrm {d} x=(*),$

kde funkce f(x) nemá singularity na intervalu $<0;\infty )$. Tento integrál převedeme na integrál funkce komplexní proměnné

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle \int_{\gamma} f(z) z^a\,\mathrm{d}z=\int_{\gamma} f(z) e^{a \left(\operatorname{ln}|z\right|+i \operatorname{Arg\ }z\right)}\,\mathrm{d}z =I=I_1+I_2+I_3+I_4,}

Za integrační cestu zvolíme křivku podle obrázku. Jednotlivé úseky integrační cesty označíme v souladu s obrázkem jako integrály I₁, I₂, I₃, I₄, kde integrál I₁ se shoduje s integrálem (*). Funkce Arg z je zvolena tak, že podél celého I₁ je Arg z = 0. Aby funkce byla podél celé integrační cesty holomorfní, je nespojitost charakteristická pro funkce z^a zvolena podél reálné osy. Podél integrálu I₃ je tedy Arg z = 2 π a, a proto

$I_{3}=\int _{-\infty }^{0}f(z)e^{a\operatorname {ln} \left|z\right|+2i\pi a}\,\mathrm {d} z=-I_{1}e^{2i\pi a}.$

Za předpokladu $\lim _{R\rightarrow \infty }R\max \ \left|f(z)z^{a}\right|=0,$ tedy pokud f(z) z^a jde s rostoucím R k nule nejméně rychleji než 1/R, integrál I₂ vymizí. Obdobně za předpokladu $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\varepsilon \max \ \left|f(z)z^{a}\right|=0,$ tedy že f(z) z^a jde s $\varepsilon$ jdoucím k nule k nekonečnu alespoň pomaleji než $1/\varepsilon$, vymizí integrál I₄. V souladu s předpokladem, že f(z) nemá v nule singularitu dostáváme podmínku $a>-1$.

Potom podle reziduové věty je

$I=I_{1}+I_{2}+I_{3}+I_{4}=I_{1}+I_{3}=I_{1}\left(1-e^{2i\pi a}\right)=2\pi i\sum \operatorname {Res} f(x),$

tedy integrál

$I_{1}=2\pi i{\frac {\sum \operatorname {Res} f(x)}{\left(1-e^{2i\pi a}\right)}},$

což ovšem platí jen není-li a celé (potom by byl jmenovatel nulový a výraz nemá smysl). Pro celé a je potřeba vyšetřit, zda je možné prohození limity a integrálu - je-li tomu tak, výsledkem je limita tohoto výsledku.

Integrály (-∞;∞) funkcí bez singularit na reálné ose

Integrály ve tvaru

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=I_{1},$

kde funkce f(x) nemá singularity na intervalu $(-\infty ;\infty )$. Zapíšeme jako integrál funkce komplexní proměnné

$\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z,$

kde γ je funkce na obrázku a I₁ = (*). Lze-li aplikovat Jordanovo lemma, tedy za podmínky

$\lim _{R\rightarrow \infty }{R\max \left|f(z)\right|}=0,$

kde maximum se počítá podél kružnice podle níž probíhá integrál I₂, platí I₂ = 0, tedy hodnota integrálu (*)=I₁ je dána jako

$I=I_{1}+I_{2}=I_{1}=2\pi i\sum _{\operatorname {Im} (z)>0}\operatorname {Res\ } f(z)$

Mnohdy se s výhodou dá použít fakt, že pro horní půlkružnici skoro všude platí

$\lim _{R\rightarrow \infty }{R\max \left|e^{iz}\right|}=0,$ a že

$\int _{I_{2}}{\frac {e^{iz}}{R^{\alpha }}}=0\ \mathrm {pro} \ \alpha >0.$

Stačí tedy, aby funkce přenásobená exponenciálou ve tvaru výše klesala podél celé horní půlkružnice v absolutní hodnotě k nule, není již potřeba, aby klesala alespoň rychleji než $1/R$.

Integrály <0;2π> racionálních výrazů z goniometrických funkcí

Je-li integrál daný ve tvaru

$\int _{0}^{2\pi }\mathrm {R} \left(\sin x,\cos x\right)\,\mathrm {d} x=I,$

kde R je racionální výraz funkcí sinus a kosinus, můžeme jej považovat za komplexní integrál po libovolné křivce délky 2 π. Nechť tato křivka je jednotková kladně orientovaná kružnice (viz obrázek). Převedeme jej na integrál komplexní proměnné podle identit

$\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}},$

$\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},$

s parametrizací

$z=e^{ix},\,$

$\mathrm {d} z=ie^{ix}\mathrm {d} x.\,$

Proto (po dosazení za dx a x) integrujeme

$\int _{\gamma }{\frac {1}{iz}}\mathrm {R} \left({\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}},{\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\right)\,\mathrm {d} z=I.$

Pokud funkce uvnitř integrálu nemá na jednotkové kružnici singularity, spočteme jej jednoduše pomocí reziduové věty jako

$I=2\pi i\sum _{\operatorname {abs} (z)<1}\operatorname {Res} \left({\frac {1}{iz}}\,\mathrm {R} \left({\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}},{\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\right)\right).$

Integrály (-∞;∞) se singularitami na imaginární ose

$I_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }f(z)\,\mathrm {d} z$

Po integrační cestě (na obrázku) integrujeme funkce, které mají na imaginární ose singularity v libovolné vzdálenosti, a nelze tedy použít Jordanovo lemma. Pro použití následující integrační cesty je potřeba, aby integrály I₂, I₄ ve velké vzdálenosti vymizely a aby se dal integrál I₃ napsat jednoduchou závislostí na integrálu I₁ (což zpravidla znamená, že f(z) je nějak symetrická vůči posunu podél imaginární osy). Z výsledného výrazu a reziduové věty dopočítáme hodnotu integrálu I₁.

Vzorce pro výpočet reziduí

Přeloženo z anglické Wikipedie

Má-li holomorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

${\begin{matrix}\\\operatorname {Res} \\{}^{z=c}\end{matrix}}\ f=\lim _{z\to c}(z-c)f(z),$

nebo přímo použitím reziduové věty

${\begin{matrix}\\\operatorname {Res} \\{}^{z=c}\end{matrix}}\ f={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }f(z)\,dz$

kde kladně orientovaná křivka γ je kružnice kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.

Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako

${\begin{matrix}\\\operatorname {Res} \\{}^{z=c}\end{matrix}}\ f={\frac {g(c)}{h'(c)}}.$

Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c a pól řádu n vyjádřeno jako:

${\begin{matrix}\\\operatorname {Res} \\{}^{z=c}\end{matrix}}\ f={\frac {1}{(n-1)!}}\cdot \lim _{z\to c}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{n-1}\left(f(z)\cdot (z-c)^{n}\right).$

Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |z − c| < R }, potom Res[f]_z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

Externí odkazy

• Studijní text k přednáškám Doc. RNDr. Mirka Rokyty, CSc.