Integrování/Posuvy a násobky argumentu

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Často potřebujeme spočítat integrál, který se velmi podobá integrálu, který již máme spočtený, ale přesto se v pár drobnostech liší. Pokud máme jistotu, že se počítaný integrál liší od již známého pouze v argumentu, můžeme onen spočtený integrál výhodně použít. Metoda je speciální aplikací substituční metody.

Formální zápis metody a důkaz[editovat]

Mějme funkci f(x), jejíž primitivní funkce je F(x), pak můžeme vypočítat integrál z f(ax+b) takto:

Důkaz:

QED


Pokud se v integrovaném výrazu vyskytne více proměnných , pak musí být všechny posunuty a znásobeny stejně oproti známému integrálu.

Integrál od kterého známe výsledek: .

Integrál na který můžeme použít metodu: .

Integrál na který nemůžeme použít metodu: - metodu nemůžeme použít, protože je každý výskyt posunutý a znásobený o jinou konstantu.

Ukázka použití metody[editovat]

Příklad č. 1[editovat]

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce .

Řešení: Vidíme, že funkce je vlastně kde . Pak . Výsledkem je tedy

Příklad č. 2[editovat]

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce .

Řešení: Funkce se dá zapsat jako kde . Protože , tak je výsledkem .

Příklad č. 3[editovat]

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce .

Řešení: Funkce se dá zapsat jako kde . Protože , tak je výsledkem .