Geometrie/Vzájemná poloha dvou přímek

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Rovnoběžky p1 a p2.
Různoběžky p1 a p2 s průsečíkem P.
Mimoběžky p1 a p2.

V rovině[editovat]

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom boděprůsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Algebraické řešení[editovat]

Mějme dvě přímky v rovině dané směrnicovými rovnicemi

popř. obecnými rovnicemi

Dvě přímky v rovině jsou rovnoběžné, pokud mají stejné směrnice. Jsou-li tedy dvě přímky zadány směrnicovými rovnicemi, pak podmínka rovnoběžnosti má tvar

Jsou-li přímky zadány obecnými rovnicemi, pak podmínku rovnoběžnosti lze vyjádřit pomocí determinantu jako


Přímky zadané rovnicemi směrnicovými rovnicemi jsou kolmé, pokud jejich směrnice splňují podmínku , kterou obvykle zapisujeme jako

Rovnice zadané v obecném tvaru jsou kolmé pokud splňují podmínku


Průsečík dvou přímek zadaných směrnicovými rovnicemi získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

Podobně pro průsečík přímek zadaných obecnými rovnicemi dostaneme

Z předchozích vztahů je vidět, že pokud je splněna podmínka rovnoběžnosti, tak přímky jsou rovnoběžné a nemají tedy průsečík.


Odchylka dvou různoběžných přímek zadaných směrnicovými rovnicemi je pro dána vztahem

Jsou-li rovnice zadány obecnými rovnicemi, pak pro odchylku dostáváme

pro .

V prostoru[editovat]

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Poloha přímek v rovině je speciálním případem polohy přímek v prostoru.

Algebraické řešení[editovat]

Dvě přímky zadané obecnými rovnicemi tvoří soustavu

Tyto dvě přímky se protínají v jednom bodě právě tehdy, když platí

Máme-li dvě přímky vyjádřené vztahy

Pak podmínku, aby se tyto přímky proťaly lze zapsat

Pro souřadnice průsečíku pak platí

Pokud se takové přímky protínají, pak jejich odchylku určíme jako

Podmínku rovnoběžnosti přímek lze pak vyjádřit jednoduchými vztahy a . Přímky jsou kolmé, je-li splněna podmínka .


Mějme přímky vyjádřeny rovnicemi

Odchylka těchto přímek se určí jako

Podmínku rovnoběžnosti takovýchto přímek lze zapsat rovnicemi . Podmínku kolmosti lze vyjádřit jako .

Vzdálenost dvou mimoběžných přímek udává vztah

Související články[editovat]

Externí odkazy[editovat]

Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi