Integrování/Základní integrály

Z Wikiknih

Všechny zde uvedené integrály je dobré znát zpaměti, protože je budeme dále hojně využívat k louskání složitějších

U neurčitého integrálu z principu nevíme, na jaké hodnotě "jsme v mínus nekonečnu začínali". Proto je ke každému neurčitému integrálu přičtena blíže neznámá integrační konstanta C.

Mějme na paměti, že integrál je lineární, tedy že:

$\int [f(x) \pm g(x)] \, \mathrm{d}x = \int f(x)\,\mathrm{d}x \pm \int g(x)\,\mathrm{d}x$

$\int k\,f(x)\,\mathrm{d}x = k \int f(x)\,\mathrm{d}x$ pro libovolné reálné číslo k

Obsah

1 Jednoduché funkce
2 Goniometrické a cyklometrické funkce
3 Hyperbolické a hyperbolometrické funkce
4 Příklady výpočtu

[editovat] Jednoduché funkce

Když integrujeme nulovou funkci, získáme prostě tuto konstantu:

$\int {0} \,\mathrm{d}x = c$

Integrací nenulové konstantní funkce získáme lineární funkci, úměrnou x.

$\int {a} \,\mathrm{d}x = ax + c$

Konstanta je vlastně x⁰ a jejím integrálem je x¹. Když si představíme, že plocha pod funkcí y=x je trojúhelník o ploše x²/2, nepřekvapí nás následující zobecnění. Pro přirozená $n$ platí uvedený vztah pro všechna $x$ .

$\int {x^n} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \mbox{ pro } x>0, n \in \mathbb{R} \mbox{ a } n \ne -1$ .

Pokud je $n = - 1$ , získáme logaritmus absolutní hodnoty x:

$\int {\frac{1}{x}} \,\mathrm{d}x = \ln |x| + c \mbox{ pro } x\ne 0$

(Vzhledem k vlastnostem funkce ln lze tento vztah psát i ve formě:

$\int {\frac{1}{x}} \,\mathrm{d}x = \ln |kx| \mbox{ pro } kx\ne 0$

Následující funkce, exponenciála, je sama sobě integrálem:

$\int {\mathrm{e}^x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^x + c$

Zobecnění pro různá a:

$\int {a^x} \,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{ln(a)} \ + c \mbox{ pro } a>0, a\ne 1$

[editovat] Goniometrické a cyklometrické funkce

$\int {\sin x} \,\mathrm{d}x = - \cos x + c$

$\int {\cos x} \,\mathrm{d}x = \sin x + c$

$\int {\frac{1}{\sin^2 x}} \,\mathrm{d}x = -\operatorname{cotg} \,x + c \mbox{ pro } x\ne n\pi$ , kde

n

je celé číslo.

$\int {\frac{1}{\cos^2 x}} \,\mathrm{d}x = \operatorname{tg} \,x + c \mbox{ pro } x\ne (2n+1)\frac{\pi}{2}$ , kde

n

je celé číslo.

Následující vztah je zejména užitečný:

$\int \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x = \operatorname{arctg}x + c_1 = - \operatorname{arccotg}x + c_2$

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \mathrm{d}x = \operatorname{arcsin}x + c_1 = - \operatorname{arccos}x + c_2 \mbox{ pro } -1<x<1$

$\int \frac{1}{1 - x^2} \mathrm{d}x = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\ln{|\frac{1+x}{1-x}|} + c, & \mbox{ pro } |x|\ne 1 \\ \operatorname{argtgh}x + c, & \mbox{ pro } |x|<1 \\ \operatorname{argcotgh}x + c & \mbox{ pro } |x|>1 \end{matrix}\right.$

[editovat] Hyperbolické a hyperbolometrické funkce

$\int \sinh x \, \mathrm{d}x = \cosh x + c$

$\int \cosh x \, \mathrm{d}x = \sinh x + c$

$\int \frac{1}{\sinh^2 x} \mathrm{d}x = - \operatorname{cotgh}x + c \mbox{ pro } x\ne 0$

$\int \frac{1}{\cosh^2 x} \mathrm{d}x = \operatorname{tgh}x + c$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\mathrm{d}x = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}) + c = \operatorname{argsinh}x + c$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\mathrm{d}x = \left\{\begin{matrix} \ln{|x + \sqrt{x^2 - 1}|} + c, & \mbox{ pro } |x|> 1 \\ \operatorname{argcosh}x + c, & \mbox{ pro } |x|<1 \end{matrix}\right.$

[editovat] Příklady výpočtu

Řešené příklady

Tak a to je všechno. Zbytek funkcí budeme muset na tyto funkce nějakým způsobem převést...

Některé funkce, jako třeba e^-x*x, sice zjevně mají integrál na celém definičním oboru, neumíme jej ale vyjádřit pomocí jiných funkcí.

Integrování/Základní integrály

Z Wikiknih

Obsah

[editovat] Jednoduché funkce

[editovat] Goniometrické a cyklometrické funkce

[editovat] Hyperbolické a hyperbolometrické funkce

[editovat] Příklady výpočtu

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledat

Navigace

Tisk/export

Nástroje