Integrování/Základní integrály

Všechny zde uvedené integrály je dobré znát zpaměti, protože je budeme dále hojně využívat k louskání těch složitějších.

U neurčitého integrálu z principu nevíme, na jaké hodnotě "jsme v mínus nekonečnu začínali". Proto je ke každému neurčitému integrálu přičtena blíže neznámá integrační konstanta C.

Mějme na paměti, že integrál je lineární, tedy že:

$\int [f(x)\pm g(x)]\,\mathrm {d} x=\int f(x)\,\mathrm {d} x\pm \int g(x)\,\mathrm {d} x$

$\int k\,f(x)\,\mathrm {d} x=k\int f(x)\,\mathrm {d} x$ pro libovolné reálné číslo k

Jednoduché funkce

Když integrujeme nulovou funkci, získáme prostě tuto konstantu:

$\int {0}\,\mathrm {d} x=c$

Integrací nenulové konstantní funkce získáme lineární funkci, úměrnou x.

$\int {a}\,\mathrm {d} x=ax+c$

Konstanta je vlastně x⁰ a jejím integrálem je x¹. Když si představíme, že plocha pod funkcí y=x je trojúhelník o ploše x²/2, nepřekvapí nás následující zobecnění. Pro přirozená $n$ platí uvedený vztah pro všechna $x$.

$\int {x^{n}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+c{\mbox{ pro }}x>0,n\in \mathbb {R} {\mbox{ a }}n\neq -1$.

Pokud je $n=-1$, získáme logaritmus absolutní hodnoty x:

$\int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln |x|+c{\mbox{ pro }}x\neq 0$

(Vzhledem k vlastnostem funkce ln lze tento vztah psát i ve formě:

$\int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln |kx|{\mbox{ pro }}kx\neq 0$

Následující funkce, exponenciála, je sama sobě integrálem:

$\int {\mathrm {e} ^{x}}\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+c$

Zobecnění pro různá $a$ (konstatní):

$\int {a^{x}}\,\mathrm {d} x=\int {\mathrm {e} ^{x\ln a}}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln(a)}}\ +c{\mbox{ pro }}a>0,a\neq 1$

Goniometrické a cyklometrické funkce

$\int {\sin x}\,\mathrm {d} x=-\cos x+c$

$\int {\cos x}\,\mathrm {d} x=\sin x+c$

$\int {\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,\mathrm {d} x=-\operatorname {cotg} \,x+c{\mbox{ pro }}x\neq n\pi$, kde $n$ je celé číslo.

$\int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {tg} \,x+c{\mbox{ pro }}x\neq (2n+1){\frac {\pi }{2}}$, kde $n$ je celé číslo.

Následující vztah je zejména užitečný:

$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\mathrm {d} x=\operatorname {arctg} x+c_{1}=-\operatorname {arccotg} x+c_{2}$

$\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\operatorname {arcsin} x+c_{1}=-\operatorname {arccos} x+c_{2}{\mbox{ pro }}-1<x<1$

$\int {\frac {1}{1-x^{2}}}\mathrm {d} x=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\ln {|{\frac {1+x}{1-x}}|}+c,&{\mbox{ pro }}|x|\neq 1\\\operatorname {argtgh} x+c,&{\mbox{ pro }}|x|<1\\\operatorname {argcotgh} x+c&{\mbox{ pro }}|x|>1\end{matrix}}\right.$

Hyperbolické a hyperbolometrické funkce

$\int \sinh x\,\mathrm {d} x=\cosh x+c$

$\int \cosh x\,\mathrm {d} x=\sinh x+c$

$\int {\frac {1}{\sinh ^{2}x}}\mathrm {d} x=-\operatorname {cotgh} x+c{\mbox{ pro }}x\neq 0$

$\int {\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\mathrm {d} x=\operatorname {tgh} x+c$

$\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\mathrm {d} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+c=\operatorname {argsinh} x+c$

$\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\mathrm {d} x=\left\{{\begin{matrix}\ln {|x+{\sqrt {x^{2}-1}}|}+c,&{\mbox{ pro }}|x|>1\\\operatorname {argcosh} x+c,&{\mbox{ pro }}|x|<1\end{matrix}}\right.$

Příklady výpočtu

• Řešené příklady

Tak a to je všechno. Zbytek funkcí budeme muset na tyto funkce nějakým způsobem převést...

Některé funkce, jako třeba e^-x*x, sice zjevně mají integrál na celém definičním oboru, neumíme jej ale vyjádřit pomocí jiných funkcí.