Integrování/Substituční metoda

Z Wikiknih

Jedna ze tří základních metod výpočtu integrálů se nazývá substituční metoda. Tato metoda využívá vhodné záměny výrazu, který integruji, za jiný, snadněji integorvatelný. Speciálním případem této metody jsou pak metody posuvu a násobku argumentu a metoda "vidím derivaci".

[editovat] Formální zápis metody a důkaz

Nechť $F$ je primitivní k $f$ na $(a; b)$ . Nechť $\varphi$ je definovaná na $(α;β)$ , $\varphi: (a; b) \rightarrow (\alpha; \beta)$ (s hodnotami v $(α;β)$ ). Navíc nechť existuje $\varphi'(t)$ vlastní pro každé $t \in (\alpha;\beta)$ . Potom

$\int{f(\varphi(t)) \varphi'(t)}\,{\rm d}t = F(\varphi(t)) + C,\, t \in (\alpha; \beta)$

[editovat] Příklady výpočtu

Příklad 1 Substitucí převedeme integrál z odmocniny na integrál hyperbolické funkce.

$\int\!\sqrt{x^2+1}\,{\rm d}x=\begin{vmatrix}x=\varphi(t)=\sinh t\\ \varphi'(t)=\cosh t\end{vmatrix}=\int\!\sqrt{\sinh^2t+1}\,\cdot\,\cosh t\,{\rm d}t=\int\!\cosh^2 t\,{\rm d}t=$

$=\frac14 \int\!(e^t+e^{-t})^2\,{\rm d}t=\frac14 \int\!(e^{2t}+2+e^{-2t})\,{\rm d}t=\frac18 e^{2t}+\frac12t-\frac18 e^{-2t}+c$

Integrování/Substituční metoda

Z Wikiknih

[editovat] Formální zápis metody a důkaz

[editovat] Příklady výpočtu

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledat

Navigace

Tisk/export

Nástroje