Integrování/Posuvy a násobky argumentu

Z Wikiknih

Často potřebujeme spočítat integrál, který se velmi podobá integrálu, který již máme spočtený, ale přesto se v pár drobnostech liší. Pokud máme jistotu, že se počítaný integrál liší od již známého pouze v argumentu, můžeme onen spočtený integrál výhodně použít. Metoda je speciální aplikací substituční metody.

[editovat] Formální zápis metody a důkaz

Mějme funkci f(x), jejíž primitivní funkce je F(x), pak můžeme vypočítat integrál z f(ax+b) takto:

$\int{ f(ax+b) }dx = \frac{F(ax+b)}{a} + C$

Důkaz:

$\int{ f(ax+b) }dx = \left[ Substituce: y = ax+b, x = \frac{y-b}{a}, dx = \frac{dy}{a} \right] = \int{ \frac{f(y)}{a} }dy = \frac{1}{a}\int{f(y) }dy = \frac{F(y)}{a} + C = \frac{F(ax+b)}{a} + C$

QED

Pokud se v integrovaném výrazu vyskytne více proměnných $x$ , pak musí být všechny posunuty a znásobeny stejně oproti známému integrálu.

Integrál od kterého známe výsledek: $\int{\log{(3x)}+\frac{e^{18x}}{2x}}dx = \int{f(x)}dx$ .

Integrál na který můžeme použít metodu: $\int{\log{(6x+3)}+\frac{e^{36x+18}}{4x+2}}dx = \int{f(2x+1)}dx$ .

Integrál na který nemůžeme použít metodu: $\int{\log{(6x+3)}+\frac{e^{6x+9}}{30x-3}}dx$ - metodu nemůžeme použít, protože je každý výskyt $x$ posunutý a znásobený o jinou konstantu.

[editovat] Ukázka použití metody

[editovat] Příklad č. 1

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce

(12 x + 3) 4

.

Řešení: Vidíme, že funkce $(12 x + 3) 4$ je vlastně $z 4$ kde $z = 12 x + 3$ . Pak $\int{z^4}dz = \frac{z^5}{5}+C$ . Výsledkem je tedy $\frac{\left(12x+3\right)^5}{5}+C$

[editovat] Příklad č. 2

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $\sqrt{2x+8}$ .

Řešení: Funkce $\sqrt{2x-8}$ se dá zapsat jako $\sqrt{y}$ kde $y = 2 x - 8$ . Protože $\int{\sqrt{y}}dy = \int{y^{\frac{1}{2}}}dy = \frac{y^{2\frac{3}{2}}}{3}+C$ , tak je výsledkem $\frac{2\left(2x+8\right)^{\frac{3}{2}}}{6}+C = \frac{\left(2x-8\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C$ .

[editovat] Příklad č. 2

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce

cos( - x + 5)

.

Řešení: Funkce $cos( - x + 5)$ se dá zapsat jako $cos w$ kde $w = ( - 1) x + 5$ . Protože $\int{\cos{y}}dy = \sin{y}+C$ , tak je výsledkem $- sin( - x + 5) + C$ .

Integrování/Posuvy a násobky argumentu

Z Wikiknih

Obsah

[editovat] Formální zápis metody a důkaz

[editovat] Ukázka použití metody

[editovat] Příklad č. 1

[editovat] Příklad č. 2

[editovat] Příklad č. 2

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledat

Navigace

Tisk/export

Nástroje