Lineární algebra/Vektorový prostor

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Definice: Vektorový prostor je čtveřice (V, T, +, •), kde V je množina jeho prvků, vektorů, T je těleso, nad kterým je prostor postaven, + je binární relace V V V a • je binární relace T V V, a která splňuje následující axiomy:

  1. Komutativita a asociativita ku sčítání jako u těles
  2. Dvojí distributivita:
    (a + b) • u = a•u + b•u
    a • (u + v) = a•u + a•v
  3. Asociativita násobení: a•(b•u) = (ab)•u
  4. Vztah vektorů k jednotce a nule: 0•u=0, 1•u=u

Definice: Lineární kombinací vektorů v1, v2, …, vn je každý takový vektor w, který lze vyjádřit ve tvaru , kde .

Příklady vektorových prostorů[editovat]

  • Množina všech n-tic reálných čísel je asi nejpoužívanější. Říká se mu aritmetický vektorový prostor.
  • Množina všech polynomů je vektorový prostor nad reálnými čísly.
  • Množina všech polynomů stupně nejvýše pět také.
  • Množina všech reálných spojitých funkcí na intervalu <a, b>.