Lineární algebra/Vektorový prostor

Definice: Vektorový prostor je čtveřice (V, T, +, •), kde V je množina jeho prvků, vektorů, T je těleso, nad kterým je prostor postaven, + je binární relace V $\times$ V $\mapsto$ V a • je binární relace T $\times$ V $\mapsto$ V, a která splňuje následující axiomy:

1. Komutativita a asociativita ku sčítání jako u těles
2. Dvojí distributivita:
   $\forall a,b\in T,u\in V:$ (a + b) • u = a•u + b•u
   $\forall a\in T,u,v\in V:$ a • (u + v) = a•u + a•v
3. Asociativita násobení: $\forall a,b\in T,u\in V:$ a•(b•u) = (ab)•u
4. Vztah vektorů k jednotce a nule: 0•u=0, 1•u=u

Definice: Lineární kombinací vektorů v₁, v₂, …, v_n je každý takový vektor w, který lze vyjádřit ve tvaru $w=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}\cdot v_{i}}$, kde $a_{i}\in T$.

Příklady vektorových prostorů

• Množina všech n-tic reálných čísel je asi nejpoužívanější. Říká se mu aritmetický vektorový prostor.
• Množina všech polynomů je vektorový prostor nad reálnými čísly.
• Množina všech polynomů stupně nejvýše pět také.
• Množina všech reálných spojitých funkcí na intervalu <a, b>.