Lineární algebra/Podprostor a lineární obal/Ekvivalentní charakterizace lineárního obalu

Definice: Lineární obal vektorů v_1…n je průnik všech podprostorů obsahujících tyto vektory.

Věta (ekvivalentní charakterizace lineárního obalu): Lineární obal vektorů v_1…n obsahuje právě ty vektory, které jsou lineárními kombinacemi těchto vektorů, tj.

$L(v_{1\ldots n})=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}\cdot v_{i}}$, $\forall a_{i}\in T$

Důkaz: Pro důkaz implikace „je lineární kombinací daných vektorů => je obsažen v obalu“ stačí uvážit, že každý podprostor musí obsahovat lineární kombinace libovolných svých prvků. Protože je lineární obal průnik všech podprostorů, které tyto vektory obsahují, musí být jejich lineární kombinace obsaženy i v něm.