Lineární algebra/Podprostor a lineární obal/Ekvivalentní charakterizace lineárního obalu

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Definice: Lineární obal vektorů v1…n je průnik všech podprostorů obsahujících tyto vektory.

Věta (ekvivalentní charakterizace lineárního obalu): Lineární obal vektorů v1…n obsahuje právě ty vektory, které jsou lineárními kombinacemi těchto vektorů, tj.

,

Důkaz: Pro důkaz implikace „je lineární kombinací daných vektorů => je obsažen v obalu“ stačí uvážit, že každý podprostor musí obsahovat lineární kombinace libovolných svých prvků. Protože je lineární obal průnik všech podprostorů, které tyto vektory obsahují, musí být jejich lineární kombinace obsaženy i v něm.