Lineární algebra/Podprostor a lineární obal

Definice: Podprostor W je taková podmnožina vektorového prostoru V nad tělesem T, která je uzavřená na lineární kombinace svých prvků, tj.

$\forall a_{i}\in T,w\in W:\sum _{i=1}^{n}{a_{i}\cdot w}\in W$

Definice: Lineární obal vektorů v_1…n je průnik všech podprostorů obsahujících tyto vektory. Značíme ho L(v_1…n).

Věta (ekvivalentní charakterizace lineárního obalu): Lineární obal vektorů v_1…n obsahuje právě ty vektory, které jsou lineárními kombinacemi těchto vektorů, tj.

$L(v_{1\ldots n})=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}\cdot v_{i}}$, $\forall a_{i}\in T$

Důkaz

Definice: Množina generátorů vektorového prostoru V je taková množina vektorů v_1…n, že L(v_1…n) = V.

Důsledek definice a ekvivalentní charakterizace: Máme-li množinu generátorů, můžeme vyjádřit každý vektor vektorového prostoru jako lineární kombinaci vektorů z množiny generátorů.