Integrování/Metoda Per Partes

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Důležitou metodou při výpočtu integrálů je metoda per partes (česky „po částech“). Tato metoda pomáhá integrovat součiny dvou (a více) funkcí (na základě věty o derivaci součinu) a rozložit je na nový integrál, pro nás snadněji integrovatelný (při správném použití).

Formální zápis metody a důkaz[editovat]

Pokud mají funkce a spojité derivace na intervalu (tedy jsou i samy spojité), pak na intervalu platí:

Důkaz[editovat]

(věta o derivaci součinu)
(záměnou získáme i druhou podobu metody)

Příklady výpočtu[editovat]

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce .

Řešení: Za derivovanou funkci si dosadíme fci , za zderivovanou fci pak neboť

Výpočet:

Pokud bychom zvolili funkce naopak, dostali by jsme se ke tvaru

takže je důležité jaké funkce zvolíte.




Zadání: Vypočítejte integrál z funkce .

Řešení: Za derivovanou funkci budeme volit funkci , neboť se jí takto postupně zbavíme, pokud bychom zvolili funkci , pouze by se nám cyklicky zaměnovala a nic bychom tím nezískali.

Výpočet:


Metodu per partes jsme v tomto případě museli použít dvakrát.



Zadání: Vypočítejte integrál z funkce .

Řešení: V tomto případě je jedno jak zvolíme funkce, ale je např. příjemnější zvolit za derivovanou fci , neboť se tak vyhneme znamínkové změně.

Výpočet:



Pokud se dostaneme při metodě per partes znovu k původnímu integrálu, je za určitých okolností možno ho např. touto cestou vypočítat.