Integrování/Metoda Per Partes

Z Wikiknih

Důležitou metodou při výpočtu integrálů je metoda per partes (česky „po částech“). Tato metoda pomáhá integrovat součiny dvou (a více) funkcí (na základě věty o derivaci součinu) a rozložit je na nový integrál, pro nás snadněji integrovatelný (při správném použití).

Formální zápis metody a důkaz[editovat | editovat zdroj]

Pokud mají funkce a spojité derivace na intervalu (tedy jsou i samy spojité), pak na intervalu platí:

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

(věta o derivaci součinu)
(záměnou získáme i druhou podobu metody)

Příklady výpočtu[editovat | editovat zdroj]

Zadání
Vypočítejte integrál z funkce .
Řešení
Za derivovanou funkci si dosadíme fci , za zderivovanou fci pak neboť
Výpočet

Pokud bychom zvolili funkce naopak, dostali bychom se ke tvaru

takže je důležité, které funkce zvolíte.


Zadání
Vypočítejte integrál z funkce .
Řešení
Za derivovanou funkci budeme volit funkci , neboť se jí takto postupně zbavíme, pokud bychom zvolili funkci , pouze by se nám cyklicky zaměnovala a nic bychom tím nezískali.
Výpočet

Metodu per partes jsme v tomto případě museli použít dvakrát.


Zadání
Vypočítejte integrál z funkce .
Řešení
V tomto případě je jedno jak zvolíme funkce, ale je např. příjemnější zvolit za derivovanou fci , neboť se tak vyhneme znamínkové změně.
Výpočet

Pokud se dostaneme při metodě per partes znovu k původnímu integrálu, je za určitých okolností možno ho např. touto cestou vypočítat.