Geometrie/Soustavy souřadnic/Válcová soustava souřadnic

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Válcová soustava souřadnic (cylindrická soustava souřadnic) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná ) udává vzdálenost bodu od osy z, druhá souřadnice (označovaná ) udává úhel průmětu průvodiče bodu do roviny od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji ) a třetí souřadnice (označovaná ) polohu bodu na ose z.

Bod ve válcové soustavě souřadnic.

Válcová soustava souřadnic je vhodná pro řešení problémů s válcovou symetrií. Takové mají zpravidla ve válcových souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Transformace válcových souřadnic na kartézské:





Převod kartézských souřadnic na válcové:




kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens.

Metrické vlastnosti[editovat]

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

tedy délka křivky obecně jako

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od do .

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

kde indexy i,j probíhají přes hodnoty v tomto pořadí.

Diferenciální operátory ve válcových souřadnicích[editovat]