Geometrie/Soustavy souřadnic/Sférická soustava souřadnic

Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná $r$) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná $\varphi$) udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy $x$ a třetí souřadnice (označovaná $\theta$) úhel mezi průvodičem a osou $z$.

Sférická soustava souřadnic je vhodná v případech takových problémů, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Bod ve sférické soustavě souřadnic.

Transformace sférických souřadnic na kartézské:

$x=r\sin {\theta }\cos {\varphi }$

$y=r\sin {\theta }\sin {\varphi }$

$z=r\cos {\theta }\,$

Převod kartézských souřadnic na sférické:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

$\varphi =\operatorname {arctg2} (y,x),$

$\theta =\arccos \left({\frac {z}{r}}\right),$

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu $0\leq \theta \leq \pi$ a $0\leq \varphi <2\pi$.

Metrické vlastnosti

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \varphi ^{2},$

tedy délka křivky obecně jako

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} r(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {\mathrm {d} \theta (t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ \left({\frac {\mathrm {d} \varphi (t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t,$

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od $t_{1}$ do $t_{2}$.

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

$\mathrm {d} V=r^{2}\left|\sin \theta \right|\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta ,$

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

${\Gamma ^{r}}_{ij}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-r&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}},$

${\Gamma ^{\theta }}_{ij}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{r}}&0\\{\frac {1}{r}}&0&0\\0&0&-\cos \theta \sin \theta \\\end{pmatrix}},$

${\Gamma ^{\varphi }}_{ij}={\begin{pmatrix}0&0&{\frac {1}{r}}\\0&0&\operatorname {cotg} \theta \\{\frac {1}{r}}&\operatorname {cotg} \theta &0\\\end{pmatrix}},$

kde indexy i,j probíhají přes hodnoty $(r,\theta ,\varphi )$ v tomto pořadí.

Diferenciální operátory ve sférických souřadnicích

$\nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

$\nabla \cdot \mathbf {A} ={1 \over r^{2}}{\partial \left(r^{2}A_{r}\right) \over \partial r}+{1 \over r\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\theta }\sin \theta \right)+{1 \over r\sin \theta }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }$

$\nabla \times \mathbf {A} =$

${1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

$\Delta f=\nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}$

$\Delta \mathbf {A} =$

$\left(\Delta A_{r}-{2A_{r} \over r^{2}}-{2A_{\theta }\cos \theta \over r^{2}\sin \theta }-{2 \over r^{2}}{\partial A_{\theta } \over \partial \theta }-{2 \over r^{2}\sin \theta }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}}$

$+\left(\Delta A_{\theta }-{A_{\theta } \over r^{2}\sin ^{2}\theta }+{2 \over r^{2}}{\partial A_{r} \over \partial \theta }-{2\cos \theta \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

$+\left(\Delta A_{\varphi }-{A_{\varphi } \over r^{2}\sin ^{2}\theta }+{2 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }+{2\cos \theta \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$