Geometrie/Soustavy souřadnic/Sférická soustava souřadnic

Z Wikiknih
Přejít na: navigace, hledání

Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná ) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná ) udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy a třetí souřadnice (označovaná ) úhel mezi průvodičem a osou .

Sférická soustava souřadnic je vhodná v případech takových problémů, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Bod ve sférické soustavě souřadnic.

Transformace sférických souřadnic na kartézské:





Převod kartézských souřadnic na sférické:




kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu a .

Metrické vlastnosti[editovat]

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

tedy délka křivky obecně jako

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od do .

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

kde indexy i,j probíhají přes hodnoty v tomto pořadí.

Diferenciální operátory ve sférických souřadnicích[editovat]