Válcová soustava souřadnic (cylindrická soustava souřadnic ) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná
r
{\displaystyle r}
z , druhá souřadnice (označovaná
φ
{\displaystyle \varphi }
x
y
{\displaystyle xy}
x
{\displaystyle x}
z
{\displaystyle z}
z .
Bod ve válcové soustavě souřadnic. Válcová soustava souřadnic je vhodná pro řešení problémů s válcovou symetrií. Takové mají zpravidla ve válcových souřadnicích podstatně jednodušší tvar.
Transformace válcových souřadnic na kartézské:
x
=
r
cos
φ
,
{\displaystyle x=r\cos {\varphi },}
y
=
r
sin
φ
,
{\displaystyle y=r\sin {\varphi },}
z
=
z
.
{\displaystyle z=z.\,}
Převod kartézských souřadnic na válcové :
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
φ
=
arctg2
(
y
,
x
)
{\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg2} \left(y,x\right)}
z
=
z
,
{\displaystyle z=z\,,}
kde arctg2(x ,y ) je zobecnění funkce arkus tangens.
Délka infinitesimální úsečky se spočte jako
d
s
2
=
d
r
2
+
r
2
d
φ
2
+
d
z
2
,
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \varphi ^{2}+\mathrm {d} z^{2},}
tedy délka křivky obecně jako
∫
t
1
t
2
(
d
r
(
t
)
d
t
)
2
+
r
2
(
d
φ
(
t
)
d
t
)
2
+
(
d
z
(
t
)
d
t
)
2
d
t
,
{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} r(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {\mathrm {d} \varphi (t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t,}
kde t je parametr dané křivky a s je její délka od
t
1
{\displaystyle t_{1}}
t
2
{\displaystyle t_{2}}
Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako
d
V
=
r
d
r
d
φ
d
z
,
{\displaystyle \mathrm {d} V=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z,}
takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.
Afinní konexe jsou dány vztahy
Γ
r
i
j
=
(
0
0
0
0
−
r
0
0
0
0
)
,
{\displaystyle {\Gamma ^{r}}_{ij}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-r&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},}
Γ
φ
i
j
=
(
0
1
r
0
1
r
0
0
0
0
0
)
,
{\displaystyle {\Gamma ^{\varphi }}_{ij}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{r}}&0\\{\frac {1}{r}}&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},}
Γ
z
i
j
=
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
,
{\displaystyle {\Gamma ^{z}}_{ij}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},}
kde indexy i ,j probíhají přes hodnoty
(
r
,
φ
,
z
)
{\displaystyle (r,\varphi ,z)}
∇
f
=
∂
f
∂
r
r
^
+
1
r
∂
f
∂
φ
φ
^
+
∂
f
∂
z
z
^
{\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {\hat {z}}}}
∇
⋅
A
=
1
r
∂
(
r
A
r
)
∂
r
+
1
r
∂
A
φ
∂
φ
+
∂
A
z
∂
z
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={1 \over r}{\partial \left(rA_{r}\right) \over \partial r}+{1 \over r}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}}
∇
×
A
=
(
1
r
∂
A
z
∂
φ
−
∂
A
φ
∂
z
)
r
^
+
(
∂
A
r
∂
z
−
∂
A
z
∂
r
)
φ
^
+
1
r
(
∂
(
r
A
φ
)
∂
r
−
∂
A
r
∂
φ
)
z
^
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\left({1 \over r}{\partial A_{z} \over \partial \varphi }-{\partial A_{\varphi } \over \partial z}\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+\left({\partial A_{r} \over \partial z}-{\partial A_{z} \over \partial r}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{1 \over r}\left({\partial \left(rA_{\varphi }\right) \over \partial r}-{\partial A_{r} \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {z}}}}
Δ
f
=
∇
2
f
=
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
f
∂
φ
2
+
∂
2
f
∂
z
2
{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}}
Δ
A
=
(
Δ
A
r
−
A
r
r
2
−
2
r
2
∂
A
φ
∂
φ
)
r
^
+
(
Δ
A
φ
−
A
φ
r
2
+
2
r
2
∂
A
r
∂
φ
)
φ
^
+
(
Δ
A
z
)
z
^
{\displaystyle \Delta \mathbf {A} =\left(\Delta A_{r}-{A_{r} \over r^{2}}-{2 \over r^{2}}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+\left(\Delta A_{\varphi }-{A_{\varphi } \over r^{2}}+{2 \over r^{2}}{\partial A_{r} \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\left(\Delta A_{z}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}}
