Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic ) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná
r
{\displaystyle r}
φ
{\displaystyle \varphi }
x
{\displaystyle x}
θ
{\displaystyle \theta }
z
{\displaystyle z}
Sférická soustava souřadnic je vhodná v případech takových problémů, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.
Bod ve sférické soustavě souřadnic. Transformace sférických souřadnic na kartézské:
x
=
r
sin
θ
cos
φ
{\displaystyle x=r\sin {\theta }\cos {\varphi }}
y
=
r
sin
θ
sin
φ
{\displaystyle y=r\sin {\theta }\sin {\varphi }}
z
=
r
cos
θ
{\displaystyle z=r\cos {\theta }\,}
Převod kartézských souřadnic na sférické :
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
,
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}
φ
=
arctg2
(
y
,
x
)
,
{\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg2} (y,x),}
θ
=
arccos
(
z
r
)
,
{\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {z}{r}}\right),}
kde arctg2(x ,y ) je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu
0
≤
θ
≤
π
{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }
0
≤
φ
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }
Délka infinitesimální úsečky se spočte jako
d
s
2
=
d
r
2
+
r
2
d
θ
2
+
r
2
sin
2
θ
d
φ
2
,
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \varphi ^{2},}
tedy délka křivky obecně jako
∫
t
1
t
2
(
d
r
(
t
)
d
t
)
2
+
r
2
(
d
θ
(
t
)
d
t
)
2
+
r
2
sin
2
θ
(
d
φ
(
t
)
d
t
)
2
d
t
,
{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} r(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {\mathrm {d} \theta (t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ \left({\frac {\mathrm {d} \varphi (t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t,}
kde t je parametr dané křivky a s je její délka od
t
1
{\displaystyle t_{1}}
t
2
{\displaystyle t_{2}}
Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako
d
V
=
r
2
|
sin
θ
|
d
r
d
φ
d
θ
,
{\displaystyle \mathrm {d} V=r^{2}\left|\sin \theta \right|\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta ,}
takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.
Afinní konexe jsou dány vztahy
Γ
r
i
j
=
(
0
0
0
0
−
r
0
0
0
−
r
sin
2
θ
)
,
{\displaystyle {\Gamma ^{r}}_{ij}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-r&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}},}
Γ
θ
i
j
=
(
0
1
r
0
1
r
0
0
0
0
−
cos
θ
sin
θ
)
,
{\displaystyle {\Gamma ^{\theta }}_{ij}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{r}}&0\\{\frac {1}{r}}&0&0\\0&0&-\cos \theta \sin \theta \\\end{pmatrix}},}
Γ
φ
i
j
=
(
0
0
1
r
0
0
cotg
θ
1
r
cotg
θ
0
)
,
{\displaystyle {\Gamma ^{\varphi }}_{ij}={\begin{pmatrix}0&0&{\frac {1}{r}}\\0&0&\operatorname {cotg} \theta \\{\frac {1}{r}}&\operatorname {cotg} \theta &0\\\end{pmatrix}},}
kde indexy i ,j probíhají přes hodnoty
(
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
∇
f
=
∂
f
∂
r
r
^
+
1
r
∂
f
∂
θ
θ
^
+
1
r
sin
θ
∂
f
∂
φ
φ
^
{\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
∇
⋅
A
=
1
r
2
∂
(
r
2
A
r
)
∂
r
+
1
r
sin
θ
∂
∂
θ
(
A
θ
sin
θ
)
+
1
r
sin
θ
∂
A
φ
∂
φ
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={1 \over r^{2}}{\partial \left(r^{2}A_{r}\right) \over \partial r}+{1 \over r\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\theta }\sin \theta \right)+{1 \over r\sin \theta }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }}
∇
×
A
=
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =}
1
r
sin
θ
(
∂
∂
θ
(
A
φ
sin
θ
)
−
∂
A
θ
∂
φ
)
r
^
+
1
r
(
1
sin
θ
∂
A
r
∂
φ
−
∂
∂
r
(
r
A
φ
)
)
θ
^
+
1
r
(
∂
∂
r
(
r
A
θ
)
−
∂
A
r
∂
θ
)
φ
^
{\displaystyle {1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
Δ
f
=
∇
2
f
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
φ
2
{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}
Δ
A
=
{\displaystyle \Delta \mathbf {A} =}
(
Δ
A
r
−
2
A
r
r
2
−
2
A
θ
cos
θ
r
2
sin
θ
−
2
r
2
∂
A
θ
∂
θ
−
2
r
2
sin
θ
∂
A
φ
∂
φ
)
r
^
{\displaystyle \left(\Delta A_{r}-{2A_{r} \over r^{2}}-{2A_{\theta }\cos \theta \over r^{2}\sin \theta }-{2 \over r^{2}}{\partial A_{\theta } \over \partial \theta }-{2 \over r^{2}\sin \theta }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}}}
+
(
Δ
A
θ
−
A
θ
r
2
sin
2
θ
+
2
r
2
∂
A
r
∂
θ
−
2
cos
θ
r
2
sin
2
θ
∂
A
φ
∂
φ
)
θ
^
{\displaystyle +\left(\Delta A_{\theta }-{A_{\theta } \over r^{2}\sin ^{2}\theta }+{2 \over r^{2}}{\partial A_{r} \over \partial \theta }-{2\cos \theta \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}}}
+
(
Δ
A
φ
−
A
φ
r
2
sin
2
θ
+
2
r
2
sin
2
θ
∂
A
r
∂
φ
+
2
cos
θ
r
2
sin
2
θ
∂
A
θ
∂
φ
)
φ
^
{\displaystyle +\left(\Delta A_{\varphi }-{A_{\varphi } \over r^{2}\sin ^{2}\theta }+{2 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }+{2\cos \theta \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
