Geometrie/Numerický výpočet průniku dvou kružnic

Chceme vypočítat průsečíky C dvou kružnic, z nichž ani jedna neleží uvnitř druhé. Máme dány jejich středy [A_x, A_y], [B_x, B_y] a poloměry A_r a B_r.

V obecném případě jsou tyto průsečíky 2. Budeme hledat jen jeden, jménem C. Druhý je osově převrácený okolo spojnice středů a snadno se nalezne.

Spočítáme vzdálenost středů:

$d={\sqrt {(A_{x}-B_{x})^{2}+(A_{y}-B_{y})^{2}}}$

Představíme si, že středy kružnic jsou dvěma body trojúhelníka a hledaný průsečík třetím. Potom jsou vzdálenosti d, A_r a B_r délkami stran.

Rozdělíme bodem S úsečku d na části m a n (takže m + n = d), abychom získali dva pravoúhlé trojúhelníky ACS a BCS. Tyto trojúhelníky mají společnou výšku v = |SC|. Potom platí:

$A_{r}^{2}=v^{2}+m^{2}$

a

$B_{r}^{2}=v^{2}+n^{2},$

tudíž

$A_{r}^{2}-B_{r}^{2}=m^{2}-n^{2}=(m+n)*(m-n)=d*(m-n).$

Známe tedy rozdíl m a n:

$(A_{r}^{2}-B_{r}^{2})/d=m-n=2m-d,$

pročež

$m=(A_{r}^{2}-B_{r}^{2})/2d+d/2.$

Spočítáme výšku trojúhelníka v bodě C s využitím Pythagorovy věty.

$v={\sqrt {A_{r}^{2}-m^{2}}}$

Lineárně interpolujeme vzdálenost mezi středy a získáváme souřadnice bodu S (uprostřed průsečíků!):

$S_{x}=A_{x}+(m/d)(B_{x}-A_{x})$

a $S_{y}=A_{y}+(m/d)(B_{y}-A_{y})$

Závěrem (pomocí jednoduchého triku se záměnou souřadnic z X a Y) přičteme/odečteme úsečku SC o délce v, kolmou na AB:

$C_{x1,2}=S_{x}\mp (v/d)(A_{y}-B_{y})$

a $C_{y1,2}=S_{y}\pm (v/d)(A_{x}-B_{x})$

A získáváme souřadnice obou bodů.