Geometrie/Frenetův trojhran

Vektor tečny

Nechť je křivka $k$ třídy $C^{n}$ v prostoru $E_{3}$ dána vektorovou rovnicí s parametrem typu oblouk

$f=f(s),s\in J$.

Potom jednotkový vektor

$t(s)=f~'(s),s\in J$,

budeme nazývat vektorem tečny křivky $k$ v bodě $F(s)$. Tento vektor mění svou orientaci při přechodu k jinému oblouku, který mění orientaci křivky.

Vektor hlavní normály

Jednotkový vektor

$n(s)={\frac {f~''(s)}{\|f~''(s)\|}},s\in J$,

budeme nazývat vektorem hlavní normály křivky $k$ v bodě $F(s)$. Vektor hlavní normály je nezávislý na volbě oblouku.

Vektor binormály

Jednotkový vektor daný vektorovým součinem vektoru tečny a vektoru hlavní normály, tedy

$b(s)=t(s)\times n(s),s\in J$,

budeme nazývat vektorem binormály křivky $k$ v bodě $F(s)$. Tento vektor je kolmý na vektor tečny a vektor hlavní normály. Je patrné, že vektor binormály bude měnit svou orientaci při přechodu k oblouku, který mění orientaci křivky.

Frenetův trojhran

Uspořádanou trojici vektorů, kterou tvoří vektor tečny, vektor hlavní normály a vektor binormály, tedy

$(t(s),n(s),b(s)),s\in J$,

budeme nazývat Frenetovým trojhranem křivky v bodě $F(s)$.

Algoritmus

Tečný vektor je roven první derivaci křivky v bodě

public static Vector3d Tecna(Curve krivka, double u)
{
  return krivka.FirstDeriv(u).UnitVector(); //UnitVector - převede vektor na jednotkový
}

Vektor hlavní normály je kolmý na tečný vektor a leží v oskulační rovině

public static Vector3d HlavniNormala(Curve krivka, double u)
{
  return krivka.SecondDeriv(u).Ortogonal(krivka.FirstDeriv(u)).UnitVector();
  //a.Ortogonal(b) - ortogonalizuje vektor a podle vektoru b
}

Vektor binormály je roven vektorovému součinu tečného vektoru a vektoru hlavní normály

public static Vector3d Binormala (Curve krivka, double u)
{
  Vector3d t=Tecna(krivka,u);
  Vector3d n=HlavniNormala(krivka,u);
  return t.CrossProduct(n); //vektorový součin
}