Geometrie/Druhá křivost

Popis

Druhá křivost přiřazuje každému bodu $F(p)$ křivky $k$ jeho vychýlení z roviny.

Vyjádření

Nechť je k křivka dána vektorovou rovnicí $f=f(p),p\in J$. Druhá křivost je funkce

$~^{2}k={\frac {\left[f~'(p),f~''(p),f~'''(p)\right]}{\|f~''(p)\|^{2}}}$,

která přiřazuje každému bodu $F(p)$ křivky $k$ jeho druhou křivost. Druhá křivost je nezávislá na zvoleném oblouku křivky.

Geometrický význam

Zvolme na křivce dva různé body $F(s)$ a $F(s+h)$. Označme $\phi (h)$ odchylku vektorů binormály $b(s)$ a $b(s+h)$. Potom pro reálnou funkci $~^{2}k(s)$ přiřazující každému bodu $F(s)$ křivky $k$ jeho druhou křivost platí:

$|~^{2}k(s)|=lim_{h\rightarrow 0}{\frac {\varphi (h)}{|h|}}$

Algoritmus

Funkce pro výpočet druhé křivosti pro obecný parametr

public static double DruhaKrivost(Curve krivka, double u)
{
  Vector3d d1=krivka.FirstDeriv(u);
  Vector3d d2=krivka.SecondDeriv(u);
  Vector3d d3=krivka.ThirthDeriv(u);
  double citatel=d1.DotProduct(d2,d3); //skalární součin d1*d2*d3
  double jmenovatel=Math.Pow(d1.CrossProduct(d2).Length(),2)));
  //velikost vektorového součinu d1*d2 na druhou
  return citatel/jmenovatel;
}

Podívejte se také na

• První křivost