Základy matematiky/Vzdálenost bodu od přímky

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

V rovině (v π 2)[editovat]


Vzdálenost bodu A[xa, ya] od přímky p v rovině najdeme tak, že nejprve odhalíme souřadnice kolmého průmětu X bodu A na přímku p. Bod X je průsečíkem přímky p a přímky q, která prochází bodem A a je kolmá na p. Proto nejdřív musíme najít přímku q, pro kterou musí platit, že její směrový vektor je normálový vektor přímky p:
Rovnici přímky p upravíme na obecný tvar:

Z této rovnice získáme normálový vektor přímky p:

Tento normálový vektor je směrovým vektorem přímky q, proto normálový vektor přímky q je:

Takže obecná rovnice přímky q má následující tvar:

Proměnnou d získáme dosazením souřadnic bodu A do rovnice:

Nyní už jen dořešíme soustavu dvou lineárních rovnic, ze které získáme souřadnice bodu X a tyto souřadnice dosadíme spolu se souřadnicemi bodu A do vzorečku pro vzdálenost dvou bodů v rovině:

Tímto postupem lze získat obecný vzoreček pro vzdálenost bodu od přímky v rovině:

V prostoru (v π 3)[editovat]


Postup v prostoru je analogický s tím v rovině. Pouze tentokrát nebudeme hledat průsečík přímky p a na ní kolmé přímky q, ale průsečík přímky p a roviny ρ, která je kolmá na p a leží v ní bod A. Rovnici roviny ρ získáme stejným postupem jako předtím, musíme mít pouze na paměti, že přímku v prostoru nelze určit jedinou lineární rovnicí. Vzoreček pro vzdálenost dvou bodů v prostoru je podobný jako v rovině, pouze přibude jeden výraz: