Základy matematiky/Věty o pravoúhlých trojúhelnících

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Pravoúhlý trojúhelník je takový trojúhelník, jehož dvě strany (zvané odvěsny) svírají u jednoho jeho vrcholu úhel 90°.

Existují věty, které se zabývají pravoúhlými trojúhelníky: Pythagorova věta, Euklidovy věty (o odvěsně a o výšce). Ještě se také pravoúhlými trojúhelníky pojí Thaletova kružnice.

Trojúhelník[editovat]

Trojúhelník vznikne zadáním 3 bodů v rovině tak, že tyto tři body neleží v jedné přímce. Každý trojúhelník má součet svých vnitřních úhlů roven 180°. Strany pravoúhlého trojúhelníku se nazávají přepona (nejdelší strana) a odvěsny (dvě kratší).

Abychom mohli sestrojit trojúhelník, pak musí být splněna trojúhelníková nerovnost.

Trojúhelníková nerovnost je : kde a, b, c, jsou strany trojúhelníku. CZ je cyklická záměna.

Trojúhelníky se dají třídit do různých skupin:

Trojúhelníky dle velikosti stran[editovat]

různostranný (obecný) Δ
nemá žádné shodné strany,
rovnoramenný Δ
má 2 shodné strany a základnu, u které jsou shodné úhly,
rovnostranný Δ
má všechny strany shodné a jeho vnitřní úhly jsou 60°,

Trojúhelníky dle velikosti úhlů[editovat]

ostroúhlý Δ
všechny jeho vnitřní úhly jsou ostré (to je od 0°do 90°),
pravoúhlý Δ
jeden jeho vnitřní úhel je pravý (to je 90°),
tupoúhlý Δ
jeden jeho vnitřní úhel je tupý (to je od 90°do 180°).

Pythagorova věta[editovat]

„Obsah čtverce, který sestrojíme nad přeponou pravoúhlého Δ se rovná součtu obsahů čtverců, které sestrojíme nad oběma odvěsnami pravoúhlého Δ.“

kde c je přepona, a, b jsou odvěsny pravoúhlého Δ.

Euklidovy věty[editovat]

Existují dvě tyto věty, a to Euklidova věta o odvěsně a o výšce.

Euklidova věta o odvěsně[editovat]

„Obsah čtverce, který sestrojíme nad odvěsnou pravoúhlého Δ, se rovná obsahu obdélníku, jehož strany jsou přepona (c) a úsek na přeponě k odvěsně přilehlé (ca).“

kde a je odvěsna, c je přepona, ca je úsek přepony, který je přilehlý ke straně a.

Euklidova věta o výšce[editovat]

„Obsah čtverce, který sestrojíme nad výškou pravoúhlého Δ, se rovná obsahu obdélníku, jehož strany jsou úseky na přeponě k odvěsné přilehlé (ca, cb).“

kde v je výška pravoúhlého Δ, ca, cb jsou úseky na přeponě (úsek ca je přilehlý ke straně a, úsek cb je přilehlý ke straně b).

Thaletova kružnice[editovat]

Je taková kružnice, kterou když sestrojíme ve středu přepony AB, tak získáme body, kde můžeme sestrojit všude Δy a vždy tyto Δy budou pravoúhlé (tedy kromě bodů AB).