Přeskočit na obsah

Uživatel:Tomas.lang/Integrování/Metoda Per Partes

Z Wikiknih

Důležitou metodou při výpočtu integrálů je metoda per partes (česky „po částech“). Tato metoda pomáhá integrovat součiny dvou (a více) funkcí (na základě věty o derivaci součinu) a rozložit je na nový integrál, pro nás snadněji integrovatelný (při správném použití).

Formální zápis metody a důkaz

[editovat | editovat zdroj]

Pokud mají funkce a spojité derivace na intervalu (tedy jsou i samy spojité), pak na intervalu platí:

(věta o derivaci součinu)
(záměnou získáme i druhou podobu metody)

Příklady výpočtu

[editovat | editovat zdroj]
Zadání: Vypočítejte integrál z funkce .

Řešení: Za derivovanou funkci si dosadíme fci , za zderivovanou fci pak neboť

Výpočet:

Pokud bychom zvolily funkce naopak, dostaly by jsme se ke tvaru

takže je důležité jaké funkce zvolíte.




Zadání: Vypočítejte integrál z funkce .

Řešení: Za derivovanou funkci budeme volit funkci , neboť se jí takto postupně zbavíme, pokud bychom zvolili funkci , pouze by se nám cyklicky zaměnovala a nic bychom tím nezískaly.

Výpočet:


Metodu per partes jsme v tomto případě musely použít dvakrát.



Zadání: Vypočítejte integrál z funkce .

Řešení: V tomto případě je jedno jak zvolíme funkce, ale je např. příjemnější zvolit za derivovanou fci , neboť se tak vyhneme znamínkové změně.

Výpočet:



Pokud se dostaneme při metodě per partes znovu k původnímu integrálu, je za určitých okolností možno ho např. touto cestou vypočítat.

Příklady výpočtu

[editovat | editovat zdroj]
Zadání: Vypočítejte integrál z funkce .

Řešení: Za derivovanou funkci si dosadíme fci , za zderivovanou fci pak neboť

Výpočet:

Pokud bychom zvolily funkce naopak, dostaly by jsme se ke tvaru

takže je důležité jaké funkce zvolíte.

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce .

Řešení: Za derivovanou funkci budeme volit funkci , neboť se jí takto postupně zbavíme, pokud bychom zvolili funkci , pouze by se nám cyklicky zaměnovala a nic bychom tím nezískaly.

Výpočet:

Metodu per partes jsme v tomto případě musely použít dvakrát.

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce .

Řešení: V tomto případě je jedno jak zvolíme funkce, ale je např. příjemnější zvolit za derivovanou fci , neboť se tak vyhneme znamínkové změně.

Výpočet:


Pokud se dostaneme při metodě per partes znovu k původnímu integrálu, je za určitých okolností možno ho např. touto cestou vypočítat.

Příklady výpočtu

[editovat | editovat zdroj]

Příklad 1. Integrování funkce
Špatné použití:

Chyba byla v špatně zvolené derivované funkci.

Správné použití:

Využití rozkladu fce na součin

Příklad 2. Integrování funkce

Použití vícenásobného (několikrát) rozkladu pomocí metody per partes.

Příklad 3. Integrování funkce


Pokud se dostaneme při metodě per partes znovu k původnímu integrálu, je za určitých okolností možno ho např. touto cestou vypočítat.