Uživatel:Tomas.lang/Integrování/Metoda Per Partes

Důležitou metodou při výpočtu integrálů je metoda per partes (česky „po částech“). Tato metoda pomáhá integrovat součiny dvou (a více) funkcí (na základě věty o derivaci součinu) a rozložit je na nový integrál, pro nás snadněji integrovatelný (při správném použití).

Formální zápis metody a důkaz

Pokud mají funkce $u=u(x)$ a $v=v(x)$ spojité derivace na intervalu $(a;b)$ (tedy jsou i samy spojité), pak na intervalu $(a;b)$ platí:

$\int u'v\,\mathrm {d} x=uv-\int uv'\,\mathrm {d} x$

$\int uv'\,\mathrm {d} x=uv-\int u'v\,\mathrm {d} x$

Důkaz

$(uv)^{\prime }=u^{\prime }v+uv^{\prime }$ (věta o derivaci součinu)

$\int (uv)'\,\mathrm {d} x=\int u'v\,\mathrm {d} x+\int uv'\,\mathrm {d} x$

$uv=\int u'v\,\mathrm {d} x+\int uv'\,\mathrm {d} x$

$\int u'v\,\mathrm {d} x=uv-\int uv'\,\mathrm {d} x$ (záměnou $u\leftrightarrow v$ získáme i druhou podobu metody)

Příklady výpočtu

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $\ln x\,\!$.

Řešení: Za derivovanou funkci si dosadíme fci $\ln x\,\!$, za zderivovanou fci pak $1\,\!$ neboť $\ln x=1\cdot \ln x\,\!$

Výpočet:

$\int \ln x\,\mathrm {d} x={\begin{vmatrix}\ u=\ln x&u'={\frac {1}{x}}\\v'=1&v=x\end{vmatrix}}=x\ln x-\int \mathrm {d} x=x\ln x-x+C$

Pokud bychom zvolily funkce naopak, dostaly by jsme se ke tvaru
$x\int \ln x\,\mathrm {d} x-\int \left(\int \ln x\,\mathrm {d} x\right)\,\mathrm {d} x$
takže je důležité jaké funkce zvolíte.

---

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $x^{2}\cos x\,\!$.

Řešení: Za derivovanou funkci budeme volit funkci $x^{2}\,\!$, neboť se jí takto postupně zbavíme, pokud bychom zvolili funkci $\cos x\,\!$, pouze by se nám cyklicky zaměnovala a nic bychom tím nezískaly.

Výpočet:

$\int x^{2}\cos x\,\mathrm {d} x={\begin{vmatrix}\ u=x^{2}&u'=2x\\v'=\cos x&v=\sin x\end{vmatrix}}=x^{2}\sin x-2\int x\sin x\,\mathrm {d} x={\begin{vmatrix}\ u=x&u'=1\\v'=\sin x&v=-\cos x\end{vmatrix}}=$

$=x^{2}\sin x-2\left(-x\cos x+\int \cos x\,\mathrm {d} x\right)=x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x+C$

Metodu per partes jsme v tomto případě musely použít dvakrát.

---

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $\sin x\cos x\,\!$.

Řešení: V tomto případě je jedno jak zvolíme funkce, ale je např. příjemnější zvolit za derivovanou fci $\sin x\,\!$, neboť se tak vyhneme znamínkové změně.

Výpočet:

$\int \sin x\cos x\,\mathrm {d} x={\begin{vmatrix}\ u=\sin x&u'=\cos x\\v'=\cos x&v=\sin x\end{vmatrix}}=\sin ^{2}x-\int \sin x\cos x\,\mathrm {d} x$

---

$\int \sin x\cos x\,\mathrm {d} x=\sin ^{2}x-\int \sin x\cos x\,\mathrm {d} x$

$2\int \sin x\cos x\,\mathrm {d} x=\sin ^{2}x$

$\int \sin x\cos x\,\mathrm {d} x={\frac {\sin ^{2}x}{2}}+C$

Pokud se dostaneme při metodě per partes znovu k původnímu integrálu, je za určitých okolností možno ho např. touto cestou vypočítat.

Příklady výpočtu

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $\ln x\,\!$.

Řešení: Za derivovanou funkci si dosadíme fci $\ln x\,\!$, za zderivovanou fci pak $1\,\!$ neboť $\ln x=1\cdot \ln x\,\!$

Výpočet:

$\int (\ln x)\,\mathrm {d} x={\begin{vmatrix}\ u=\ln x&u'={\frac {1}{x}}\\v'=1&v=x\end{vmatrix}}=x\ln x-\int \mathrm {d} x=x\ln x-x+C$

Pokud bychom zvolily funkce naopak, dostaly by jsme se ke tvaru
$x\int (\ln x)\,\mathrm {d} x-\int \left(\int (\ln x)\,\mathrm {d} x\right)\,\mathrm {d} x$
takže je důležité jaké funkce zvolíte.

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $x^{2}\cos x\,\!$.

Řešení: Za derivovanou funkci budeme volit funkci $x^{2}\,\!$, neboť se jí takto postupně zbavíme, pokud bychom zvolili funkci $\cos x\,\!$, pouze by se nám cyklicky zaměnovala a nic bychom tím nezískaly.

Výpočet:

$\int (x^{2}\cos x)\,\mathrm {d} x={\begin{vmatrix}\ u=x^{2}&u'=2x\\v'=\cos x&v=\sin x\end{vmatrix}}=x^{2}\sin x-2\int (x\sin x)\,\mathrm {d} x={\begin{vmatrix}\ u=x&u'=1\\v'=\sin x&v=-\cos x\end{vmatrix}}=$

$=x^{2}\sin x-2\left(-x\cos x+\int (\cos x)\,\mathrm {d} x\right)=x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x+C$

Metodu per partes jsme v tomto případě musely použít dvakrát.

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $\sin x\cos x\,\!$.

Řešení: V tomto případě je jedno jak zvolíme funkce, ale je např. příjemnější zvolit za derivovanou fci $\sin x\,\!$, neboť se tak vyhneme znamínkové změně.

Výpočet:

$\int (\sin x\cos x)\,\mathrm {d} x={\begin{vmatrix}\ u=\sin x&u'=\cos x\\v'=\cos x&v=\sin x\end{vmatrix}}=\sin ^{2}x-\int (\sin x\cos x)\,\mathrm {d} x$

---

$\int (\sin x\cos x)\,\mathrm {d} x=\sin ^{2}x-\int (\sin x\cos x)\,\mathrm {d} x$

$2\int (\sin x\cos x)\,\mathrm {d} x=\sin ^{2}x$

$\int (\sin x\cos x)\,\mathrm {d} x={\frac {\sin ^{2}x}{2}}+C$

Pokud se dostaneme při metodě per partes znovu k původnímu integrálu, je za určitých okolností možno ho např. touto cestou vypočítat.

Příklady výpočtu

Příklad 1. Integrování funkce $\ln x\,\!$
Špatné použití:

$\int (\ln x)\,\mathrm {d} x={\begin{vmatrix}\ u=x&u'=1\\v'=\ln x&v=\int (\ln x)\,\mathrm {d} x\end{vmatrix}}=x\int (\ln x)\,\mathrm {d} x-\int \left(\int (\ln x)\,\mathrm {d} x\right)\,\mathrm {d} x$

Chyba byla v špatně zvolené derivované funkci.

Správné použití:

$\int (\ln x)\,\mathrm {d} x={\begin{vmatrix}\ u=\ln x&u'={\frac {1}{x}}\\v'=1&v=x\end{vmatrix}}=x\ln x-\int \mathrm {d} x=x\ln x-x+C$

Využití rozkladu fce $\ln x$ na součin $1\cdot \ln x\,\!$

Příklad 2. Integrování funkce $x^{2}\cos x\,\!$

$\int (x^{2}\cos x)\,\mathrm {d} x={\begin{vmatrix}\ u=x^{2}&u'=2x\\v'=\cos x&v=\sin x\end{vmatrix}}=x^{2}\sin x-2\int (x\sin x)\,\mathrm {d} x={\begin{vmatrix}\ u=x&u'=1\\v'=\sin x&v=-\cos x\end{vmatrix}}=$

$=x^{2}\sin x-2\left(-x\cos x+\int (\cos x)\,\mathrm {d} x\right)=x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x+C$

Použití vícenásobného (několikrát) rozkladu pomocí metody per partes.

Příklad 3. Integrování funkce $\sin x\cos x\,\!$

$\int (\sin x\cos x)\,\mathrm {d} x={\begin{vmatrix}\ u=\sin x&u'=\cos x\\v'=\cos x&v=\sin x\end{vmatrix}}=\sin ^{2}x-\int (\sin x\cos x)\,\mathrm {d} x$

---

$\int (\sin x\cos x)\,\mathrm {d} x=\sin ^{2}x-\int (\sin x\cos x)\,\mathrm {d} x$

$2\int (\sin x\cos x)\,\mathrm {d} x=\sin ^{2}x$

$\int (\sin x\cos x)\,\mathrm {d} x={\frac {\sin ^{2}x}{2}}+C$

Pokud se dostaneme při metodě per partes znovu k původnímu integrálu, je za určitých okolností možno ho např. touto cestou vypočítat.