Uživatel:Tomas.Lang/Iracionalita e

Důkaz iracionality $e$

Důkaz bude proveden sporem a je založen na takovéto myšlence: prohlasíme, že se číslo $e$ dá vyjádřit jak podíl dvou přirozených čísel $r/s$, po-té vezmeme vhodnou aproximaci (založenou na $s$) a o jejich rozdílu se pokusíme dokázat, že se nedá vyjádřit jako zlomek (použitím lemmatu 1.1) - a tedy že i samotné $e$ musí být nutně iracionální.

Lemma 1.1: Vynásobím-li libovolné racionální číslo k-násobkem jeho jmenovatele (kde k je přirozené číslo), získám celé číslo => nezískám-li jej, nemohlo být původní číslo racionální (a tedy musí být nutně iracionální).

Věta 1.2: Číslo $e$ je iracionální.

Důkaz:

Vyjádříme si číslo $e$ pomocí Taylorova rozvoje a nechť se dá zapsat jako podíl dvou celých, nesoudělných čísel $r$ a $s$

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {r}{s}}$,

zvolíme vhodnou aproximaci - prvních $s$ členů z předchozí sumy

${\mathcal {A}}_{e}=\sum _{n=0}^{s}{\frac {1}{n!}}$

a vyjádříme jejich rozdíl

${\frac {r}{s}}-{\mathcal {A}}_{e}={\frac {r}{s}}-\sum _{n=0}^{s}{\frac {1}{n!}}=\sum _{n=s+1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$.

Nejmenší společný násobek předchozího rozdílu je $s!$, takže pokud jím tento rozdíl pronásobíme, získáme přirozené číslo.

$s!\left({\frac {r}{s}}-{\mathcal {A}}_{e}\right)=s!\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}-\sum _{n=0}^{s}{\frac {1}{n!}}\right)=s!\left({\frac {1}{(s+1)!}}+{\frac {1}{(s+2)!}}+...\right)={\frac {1}{s+1}}+{\frac {1}{(s+2)(s+1)}}+\cdots$

přičemž součet této řady je jistě pro libovolné $s$ menší jak součet geometrická řady s kvocientem 1/2, jejíž součet je 1 a tedy

$0<{\frac {1}{s+1}}+{\frac {1}{(s+2)(s+1)}}+\cdots <1$

což je ovšem spor. $\Box$