Definice: Řekneme, že je funkce
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,\!}
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
∀
(
ε
>
0
)
∈
R
{\displaystyle \forall (\varepsilon >0)\in \mathbb {R} }
(
δ
>
0
)
∈
R
{\displaystyle (\delta >0)\in \mathbb {R} }
∀
x
:∣
x
−
a
∣<
δ
{\displaystyle \forall x:\mid x-a\mid <\delta }
∣
f
(
x
)
−
f
(
a
)
∣<
ε
{\displaystyle \mid f(x)-f(a)\mid <\varepsilon }
Každá funkce, která vznikne pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání se nazývá elementární funkce. Každá elementární funkce je spojitá (na svém definičním oboru).
Definice: Nechť
a
{\displaystyle a\,\!}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,\!}
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
vlastní
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
b
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}
tehdy, a jen tehdy když
∀
(
ε
>
0
)
∈
R
∃
(
δ
>
0
)
∈
R
{\displaystyle \forall (\varepsilon >0)\in \mathbb {R} \ \exists (\delta >0)\in \mathbb {R} }
∀
x
{\displaystyle \forall x}
0
<∣
x
−
a
∣<
δ
{\displaystyle 0<\mid x-a\mid <\delta }
∣
f
(
x
)
−
b
∣<
ε
{\displaystyle \mid f(x)-b\mid <\varepsilon }
Definice: Nechť
a
{\displaystyle a\,\!}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,\!}
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
nevlastní
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\infty }
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=-\infty }
tehdy, a jen tehdy když
∀
M
∈
R
∃
(
δ
>
0
)
∈
R
{\displaystyle \forall M\in \mathbb {R} \ \exists (\delta >0)\in \mathbb {R} }
∀
x
{\displaystyle \forall x}
0
<∣
x
−
a
∣<
δ
{\displaystyle 0<\mid x-a\mid <\delta }
f
(
x
)
>
M
{\displaystyle f(x)>M\,\!}
f
(
x
)
<
M
{\displaystyle f(x)<M\,\!}
