Nechť
. Pak

.
Nechť
,
. Pak

.
Nechť
. Pak

.
Nechť
. Pak

.
Nechť
. Pak

Položme
,
.

Nechť
takové, že
a
. Označíme-li si
a
, pak

.
Je-li
, kde
, pak
.
.
Je-li
, kde
pak
.
.
Je-li
, pak
.
.
Je-li
, pak
.
.
Je-li
a
, pak
a
.
Přímou aplikací pravidla pro derivaci podílu ihned plyne tvrzení. Například
.
Je-li
a
, pak
a
.
Označíme-li si
, pak
. Přímou aplikací pravidla pro derivaci inverzní funkce dostaneme:
.
Analogicky pro
.
Je-li
a
, pak
a
.
Zcela analogicky předchozím.
Je-li
, pak
.
. Protože
, platí pro všechna
. Nechť
. Zvolme
takové, aby platilo
, tedy
. Pak ale dostáváme:
, tedy
. Vynásobením celé nerovnice
dostaváme:
a po úprávách máme
. Limitním přechodem pro
, resp.
dostáváme
. Obdobně by se to dokázalo pro
, a tedy celkem dostáváme tvrzení.
Je-li
, pak
.
(ln e(x))' = 1/(x*ln (e))
Zcela analogicky předchozím důkazům pro derivaci inverzních funkcí.