Matematická analýza/Derivace elementárních funkcí

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Derivace součtu a rozdílu funkcí[editovat]

Nechť . Pak

Důkaz:[editovat]

.

Derivace součinu konstanty a funkce[editovat]

Nechť , . Pak

Důkaz:[editovat]

.

Derivace součinu funkcí[editovat]

Nechť . Pak

Důkaz:[editovat]

.

Derivace podílu funkcí[editovat]

Nechť . Pak

Důkaz[editovat]

.

Derivace složené funkce[editovat]

Nechť . Pak

Důkaz[editovat]

Položme , .

Derivace inverzní funkce[editovat]

Nechť takové, že a . Označíme-li si a , pak

Důkaz[editovat]

.

Vzorce pro derivování elementárních funkcí[editovat]

Konstantní funkce[editovat]

Je-li , kde , pak

.

Důkaz[editovat]

.

Mocninná funkce[editovat]

Je-li , kde pak

.

Důkaz[editovat]

.

Funkce sinus[editovat]

Je-li , pak

.

Důkaz[editovat]

.

Funkce kosinus[editovat]

Je-li , pak

.

Důkaz[editovat]

.

Funkce tangens a kotangens[editovat]

Je-li a , pak

a
.

Důkaz[editovat]

Přímou aplikací pravidla pro derivaci podílu ihned plyne tvrzení. Například

.

Funkce arkus sinus a arkus kosinus[editovat]

Je-li a , pak

a
.

Důkaz[editovat]

Označíme-li si , pak . Přímou aplikací pravidla pro derivaci inverzní funkce dostaneme:

.

Analogicky pro .

Funkce arkus tangens a arkus kotangens[editovat]

Je-li a , pak

a
.

Důkaz[editovat]

Zcela analogicky předchozím.

Exponenciální funkce[editovat]

Je-li , pak

.

Důkaz[editovat]

. Protože , platí pro všechna . Nechť . Zvolme takové, aby platilo , tedy . Pak ale dostáváme: , tedy . Vynásobením celé nerovnice dostaváme: a po úprávách máme . Limitním přechodem pro , resp. dostáváme . Obdobně by se to dokázalo pro , a tedy celkem dostáváme tvrzení.

Funkce přirozený logaritmus[editovat]

Je-li , pak .

Důkaz[editovat]

(ln e(x))' = 1/(x*ln (e)) Zcela analogicky předchozím důkazům pro derivaci inverzních funkcí.