Lineární algebra/Grupa

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Definice: Grupa je uspořádaná dvojice (G, •), kde G je množina prvků a • binární zobrazení nad těmito prvky splňující následující axiomy:

  1. Asociativita: (a • b) • c = a • (b • c)
  2. Neutrální prvek: a • 0 = 0 • a = a
  3. Inverzní prvek: a • b = b • a = 0, takové b značíme a-1

Názvosloví: Grupa je jakákoliv struktura vyhovující popsaným axiomům. Mnoho používaných grup je však založeno na číslech a jejich chování a pro takové útvary se hodí zavést ještě dva pojmy: aditivní a multiplikativní grupa. U aditivních grup značíme operaci symbolem + a neutrálnímu prvku říkáme nula, u multiplikativních grup tento operátor píšeme • a neutrálnímu prvku říkáme jednotka.

Cvičení: Jsou přirozená čísla grupou vůči „naší přirozené“ operaci sčítání či násobení? A co celá, racionální, popř. kladná racionální čísla?

Věta: Neutrální prvek je jednoznačně definován.

Věta: Inverzní prvek je pro každý prvek grupy jednoznačně definován.

Definice: Abelova grupa je grupa, pro kterou navíc platí axiom:

  1. Komutativita: (a • b) = (b • a)

Poznámka: Na tuto vlastnost jsme tak navyklí, že si musíme dát pozor, abychom v počátcích nedělali na obyčejných, neabelovských grupách zakázané operace. Při úpravách rovnic kupříkladu musíme násobit vždy z jedné strany každého výrazu.

Některé jednoduché grupy[editovat]

Celá čísla můžeme pojmout jako aditivní abelovu grupu. Nulový prvek je nula, inverz prvku a je -a.

Zk neboli cyklická grupa o velikosti k jsou aditivní grupy, pro které sčítání probíhá modulo k. Pro Z3 například operace • funguje takto:

0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1

Takové grupy jsou také abelovské.

Faktorgrupa[editovat]

Definice: Podmnožina prvků G, pro kterou platí grupové axiomy na operaci přenesené z G, se nazývá podgrupa.

Definice: Normální je taková podgrupa, pro kterou platí . Takovým násobkům se říká levé, popř. pravé rozkladové třídy.

Definice: Faktorgrupa je grupa těchto rozkladových tříd.