Na základě poznámek ze cvičení zpracoval Irigi
Algoritmy, které popíši fungují pro obecně n neznámých - ve všech textech ale budu psát pouze dvě souřadnice, i když napíšu, jak by se postupovalo pro souřadnic více.
Totální diferenciál definuje limita
Nutnou podmínkou pro existenci totálního diferenciálu je existence prvních parciálních derivací, pokud neexistují, zjevně neexistuje ani (♣). Pokud existují první parciální derivace, potom platí
![{\displaystyle {\vec {\mathrm {d} f}}(x,y)\cdot (h_{1},h_{2})={{\partial {f}} \over {\partial {x}}}h_{1}+{{\partial {f}} \over {\partial {y}}}h_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2698cbdd37ae1985d3dfc7f8c47f71c82b0127d9)
Postačující podmínkou je buďto spojitost prvních parciálních derivací, nebo existence (♣).
Zjistěte zda a kde má funkce
totální diferenciál.
![{\displaystyle {{\partial {f}} \over {\partial {x}}}={{x^{-2/3}y^{1/3}} \over {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0c62adf5dd53310960305ae834dca852deb264)
![{\displaystyle {{\partial {f}} \over {\partial {y}}}={{y^{-2/3}x^{1/3}} \over {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd488cbac27a7fb2325c5321b0827b2743b5a1d)
Je vidět, že derivace jsou mimo osy spojité, tudíž mimo osy existuje totální diferenciál. Na osách je funkční hodnota
, ale první parciální derivace zde nejsou definovány (jsou v limitě nekonečné), proto na osách totální diferenciál není.
V počátku soustavy souřadnic jsou první parciální derivace nulové, protože
![{\displaystyle {{\partial {f}} \over {\partial {x}}}=\lim _{h\rightarrow 0}{{f(x+h,y)-f(x,y)} \over {h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{{0} \over {h}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c01f45a2be5314ed4a3dddcbdee5a4b16fb3523)
a obdobně pro derivaci podle y.
Proto pokud totální diferenciál existuje, pak má hodnotu
![{\displaystyle {\vec {df}}(x,y)\cdot (h_{1},h_{2})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424188c9b0273379f72993ab8959926e434589c1)
Ověříme jeho existenci dosazením do (♣). Přejdeme k polárním souřadnicím:
![{\displaystyle h_{1}=r\sin(\phi )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da0bb35a6e340ca38da5bf410913958280be89e5)
![{\displaystyle h_{2}=r\cos(\phi )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4c7c16e6da3d58e933794baaeac1f71aee0b90)
Tedy dosadím do (♣):
![{\displaystyle \lim _{r\rightarrow 0}{{(h_{1}h_{2})^{1/3}-0-0} \over {\sqrt {h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}}=\lim _{r\rightarrow 0}{{(r\sin(\phi )r\cos(\phi ))^{1/3}} \over {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fbb0b103716e705132ab3859bcaba5e01c93a2)
Tato limita neexistuje (resp. závisí na úhlu φ), totální diferenciál tedy v počátku neexistuje.
Hledám-li extrém funkcí více proměnných
, prohledávám jednak „kandidáty“ na extrém a jednak hledám extrém na okraji, což je extrém s vazbou.
- 1. Nutná podmínka pro to, aby funkce měla v bodě extrém je, aby první parciální derivace byly nulové (nebo aby v něm neexistovaly):
![{\displaystyle {{\partial {f}} \over {\partial {x}}}=0,{{\partial {f}} \over {\partial {y}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fcdc1df83210724b4d4a04b3bf0ed0eab0be161)
- 2. V těchto bodech může nastat jedna ze tří možností - je zde minimum, maximum nebo sedlový bod. Označíme si členy v Hessově matici (Hesián):
![{\displaystyle H={\begin{pmatrix}{{\partial ^{2}f} \over {\partial x^{2}}}&{{\partial ^{2}f} \over {\partial x\partial y}}\\{{\partial ^{2}f} \over {\partial y\partial x}}&{{\partial ^{2}f} \over {\partial y^{2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B\\B&C\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0a76dfb118c4b278d9edbccd2a4f842df57b37)
Podle Taylorova rozvoje do druhého řádu (první derivace jsou nulové) nám zbývá plocha určená jako:
![{\displaystyle {{\partial ^{2}{f}} \over {\partial {x}^{2}}}\,\mathrm {d} x^{2}+2{{\partial ^{2}{f}} \over {\partial {x}\partial {y}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y+{{\partial ^{2}{f}} \over {\partial {y}^{2}}}\,\mathrm {d} y^{2}=A\,\mathrm {d} x^{2}+2B\,\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y+C\,\mathrm {d} y^{2}=K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4124f07369b80c949a8bfd7a7e020c29944fac)
Pro více proměnných se rozšiřuje kvadriku ve smyslu Taylorova rozvoje.
V diskusi nezapomeňte, že funkce musí být ve zkoumaných bodech spojitá, aby byly smíšené derivace záměnné!
- Je-li pro každé
, pak má funkce v tomto bodě lokální minimum (plocha je pozitivně definitní)
- Je-li pro každé
, pak nadále nevíme (plocha je pozitivně semidefinitní)
- Je-li pro každé
, pak má funkce v tomto bodě lokální maximum (plocha je negativně definitní)
- Je-li pro každé
, pak nadále nevíme (plocha je negativně semidefinitní)
- Střídá-li pro každé
znaménko pak jde o sedlový bod (plocha je indefinitní)
Abychom zjistili, do které z těchto skupin kvadrika patří, použijeme Sylvesterovo kritérium:
vybereme z J subdeterminanty (zleva shora) o velikostech
. Pro případ dvou proměnných tedy
,
. Pak:
- Jsou-li všechny
kladné
, pak je kvadrika pozitivně definitivní (lokální minimum).
- Jsou-li
střídavě záporné a kladné (
), pak je kvadrika negativně definitivní (lokální maximum).
- Ve všech ostatních případech nevíme.
Hledejme extrémy
. Z podmínky o nulových prvních derivací:
![{\displaystyle {{\partial {f}} \over {\partial {x}}}=2x+y^{3}=0,{{\partial {f}} \over {\partial {y}}}=3y^{2}x=0\Rightarrow x=0,y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2778548ce1355dd6fb6243ec7f6ac142af434f91)
Nyní určíme z Taylorova rozvoje koeficienty A,B takto:
![{\displaystyle A=2,B=3y^{2}=0,C=6yx=0\Rightarrow K=2\mathrm {d} \ x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b977db4bed94fba0552ddeb01132afd39b8fb0)
Sylvesterovo kritérium říká, že nevíme:
. Z kvadriky je vidět, že kvadrika je pozitivně semidefinitní (nikde není záporná a pro hodnoty
je nulová), proto nejsme schopni touto metodou extrém ověřit. (numericky: je to sedlo.)
Máme hledat extrémy funkce
, kde zůstáváme na vazbách
, kde
.
Můžeme použít dvě metody:
- A. Vyjádříme co nejvíce proměnných z podmínek
![{\displaystyle g_{i}(...)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b82c593c64ad8d150c8fe02d318330b048146a8)
- B. Na zbylé podmínky použijeme Lagrangeovy multiplikátory.
Má-li funkce v bodě extrém s vazbou (pokud jsme vazbu ještě nevyloučili pomocí bodu A.), potom platí:
![{\displaystyle \nabla \left(f(\dots )-\sum \lambda _{i}g_{i}(\dots )\right)=0\ \ \ \ \ \ (\spadesuit )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1124e822931b380f3a0a6076ad861c0f228861f)
Nyní potřebuji vyjádřit
, čehož dosáhnu:
- α. Vyjádřením
podle
z (♠) a dosazením do
.
- β. Využitím diferenciálních vztahů pro
snížím počet nutných diferenciálů ve výsledné kvadrice (to je nutné pro správnost výsledku! - kvadrika musí mít stejný počet diferenciálů jako je stupňů volnosti na kterých se s řešením pohybujeme!):
Teď známe
a
, tedy máme všechny „kandidáty na extrém“. Nyní se chceme opět přesvědčit, zda extrém je minimum, maximum, nebo není vůbec. To určíme tak, že rozepíšeme totální diferenciál druhého řádu funkce
![{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}F={{\partial ^{2}{(f-\sum \lambda _{i}g_{i})}} \over {\partial {x^{2}}}}\mathrm {d} x^{2}+2{{\partial ^{2}{(f-\sum \lambda _{i}g_{i})}} \over {\partial {x}\partial {y}}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y+{{\partial ^{2}{(f-\sum \lambda _{i}g_{i})}} \over {\partial {y^{2}}}}\mathrm {d} y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/119f759544363682c07a6067170a06da9091c3c7)
Do těchto vztahů dosadíme za
a
(které známe).
Získáme tedy kvadratickou plochu, pro jejíž pozitivní/negativní definitnost použijeme výše zmíněné Sylvesterovo kritérium. Tím jsme problém vyřešili.
![{\displaystyle \mathrm {d} g_{i}={{\partial {g_{i}}} \over {\partial {x}}}\mathrm {d} x+{{\partial {g_{i}}} \over {\partial {y}}}\mathrm {d} y+\dots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e980aa76c23e860c3e4016a93a8be2b21ad3da7a)
(Z těchto rovnic vyjádříme h diferenciálů, čímž zjednodušíme problém určení definitnosti kvadriky -- toto je pouze zjednodušující trik, není pro zbytek postupu nutný)
Podívejme se na naši známou fci
s jednou vazbou
. Použijeme podmínku (♠):
![{\displaystyle \nabla f(\dots )=\lambda \nabla g(\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c2e07ba976fe026bb99c495ace8c5d65367b16)
![{\displaystyle (2x+y^{3},3y^{2}x)=\lambda (2x,2y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94873f8dd5b8edcb967bb01e4d1489148dd74e2)
Vyjádřit x,y jde - vyjde bod (0,0) a čtyři body (z nichž 2 jsou komplexní a vyloučíme je) v závislosti na λ.
![{\displaystyle x=0,y=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36a84d025cac9b7f90cc63fbc25c4c1c2f0845a)
![{\displaystyle x={\mathrm {i} {\sqrt {2}}{{(\lambda ^{2}-\lambda )}^{3 \over 4}} \over {3^{3/4}(1-\lambda )}},y={{\mathrm {i} {\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{\lambda ^{2}-\lambda }}} \over {\sqrt[{4}]{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b34ab999ae83f500f491e453d6d4c8e2bd0243)
![{\displaystyle x={{{\sqrt {2}}{{({{\lambda }^{2}}-\lambda )}^{3/4}}} \over {{3^{3/4}}(1-\lambda )}},y=-{{\sqrt {2}} \over {\sqrt[{4}]{{{\lambda }^{2}}-\lambda }}}{\sqrt[{4}]{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bf1bd9d6c7ac618cdfbb492fc448e59fae93ce)
![{\displaystyle x={{\mathrm {i} {\sqrt {2}}{{\lambda ^{2}-\lambda )}^{3/4}}} \over {{3^{3/4}}(\lambda -1)}},y=-{{\mathrm {i} {\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{{{\lambda }^{2}}-\lambda }}} \over {\sqrt[{4}]{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d92d64548615dad3ba5b49071ae94f293cd4a750)
![{\displaystyle x={{{\sqrt {2}}{{({{\lambda }^{2}}-\lambda )}^{3/4}}} \over {{3^{3/4}}(\lambda -1)}},y={{{\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{{{\lambda }^{2}}-\lambda }}} \over {\sqrt[{4}]{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46fea401a8e0f9ed6218f5a4d46312fed1c65f35)
![{\displaystyle \lambda ={{1} \over {8}}\left(4-{{13} \over {\sqrt[{3}]{62-3{\sqrt {183}}}}}-{\sqrt[{3}]{62-3{\sqrt {183}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6943a8f36b86e6b447f2b5a2c5008ab5102516e)
![{\displaystyle \lambda ={{1} \over {2}}+{{13\left(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)} \over {16{\sqrt[{3}]{62-3{\sqrt {183}}}}}}+{{1} \over {16}}\left(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{62-3{\sqrt {183}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8415cb250a94c7ba8def2b6d124f20605c24cd4a)
![{\displaystyle \lambda ={{1} \over {2}}+{{13\left(1-{\sqrt {3}}\right)} \over {16{\sqrt[{3}]{62-3{\sqrt {183}}}}}}+{{1} \over {16}}\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{62-3{\sqrt {183}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f8d94857834da884e3eb444c2a17e6020ed168)
Reálné řešení vyjde jen pro reálné (první) λ. Dva body řešení lze zapsat jako
![{\displaystyle (x,y)=(\mathrm {Root} (16x^{6}-24x^{4}+13x^{2}-1,2),\mathrm {Root} (16x^{6}-24x^{4}+13x^{2}-4,2))\approx (0.302339,0.953201),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e79da2361dc99f96271ecbc6290c3d187acf3c20)
kde funkce
dává n-tý kořen polynomu P(x) pro reálné kořeny řazeny vzestupně.
Z numerického řešení už je vidět, který z těchto dvou bodů je minimum a který maximum, abych předvedl metodu, ukážu ještě určení z druhého diferenciálu pro řešení 2 - minimum.
Použijeme bodu 2.
![{\displaystyle 2x\ \mathrm {d} x+2y\ \mathrm {d} y=0\Rightarrow \mathrm {d} y=-{{2x} \over {2y}}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf615c4033adbf24564d25f50e04f461fa28902)
Zároveň ze druhé složky rovnice z (♠) víme, že
.
Tedy dosadíme do:
![{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}F=A\,\mathrm {d} x^{2}+2B\,\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y+C\,\mathrm {d} y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71192d73b840d6e5d20977f0726318f87872a8dc)
![{\displaystyle A=\mathrm {Root} (16x^{3}-48x^{2}+9x-8,1)\approx +2.86457}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe9daa756b3beefc42c3813d08f7dd18dbc1ecaa)
![{\displaystyle {B \over 3}=\mathrm {Root} (16x^{3}-24x^{2}+13x-4,1)\approx +0.908591}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559eb91ddcdeece354f07e28f52dc112722295e0)
![{\displaystyle C=\mathrm {Root} (16x^{3}-48x^{2}+9x+54,1)\approx -0.864568}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8bfb87c1bbbd55e6fe4791a2ef1662938b9832)
Aplikujeme-li převodní vztah pro diferenciál dy:
![{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}F=(A-2{{x} \over {y}}B+{{x^{2}} \over {y^{2}}}C)=\mathrm {Root} (2x^{3}+3x^{2}-244,1)\mathrm {d} x^{2}\approx 4.50672>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3c6a8cce64d400bbb33cc4908589b781e19642)
Jde tedy skutečně o minimum.
původní verze článku