Hledání extrémů funkcí více proměnných

Z Wikiknih
Přejít na: navigace, hledání

Na základě poznámek ze cvičení zpracoval Irigi

Algoritmy, které popíši fungují pro obecně n neznámých - ve všech textech ale budu psát pouze dvě souřadnice, i když napíšu, jak by se postupovalo pro souřadnic více.

Totální diferenciál[editovat]

Totální diferenciál definuje limita

Nutnou podmínkou pro existenci totálního diferenciálu je existence prvních parciálních derivací, pokud neexistují, zjevně neexistuje ani (♣). Pokud existují první parciální derivace, potom platí

Postačující podmínkou je buďto spojitost prvních parciálních derivací, nebo existence (♣).

Příklad[editovat]

Zjistěte zda a kde má funkce totální diferenciál.

Je vidět, že derivace jsou mimo osy spojité, tudíž mimo osy existuje totální diferenciál. Na osách je funkční hodnota , ale první parciální derivace zde nejsou definovány (jsou v limitě nekonečné), proto na osách totální diferenciál není.

V počátku soustavy souřadnic jsou první parciální derivace nulové, protože

a obdobně pro derivaci podle y.

Proto pokud totální diferenciál existuje, pak má hodnotu

Ověříme jeho existenci dosazením do (♣). Přejdeme k polárním souřadnicím:

Tedy dosadím do (♣):

Tato limita neexistuje (resp. závisí na úhlu φ), totální diferenciál tedy v počátku neexistuje.

Hledám-li extrém funkcí více proměnných , prohledávám jednak „kandidáty“ na extrém a jednak hledám extrém na okraji, což je extrém s vazbou.

Lokální extrémy[editovat]

1. Nutná podmínka pro to, aby funkce měla v bodě extrém je, aby první parciální

derivace byly nulové (nebo aby v něm neexistovaly):

2. V těchto bodech může nastat jedna ze tří možností - je zde minimum, maximum

nebo sedlový bod. Označíme si členy v Hessově matici (Hesián):


Podle Taylorova rozvoje do druhého řádu (první derivace jsou nulové) nám zbývá plocha určená jako:

Pro více proměnných se rozšiřuje kvadriku ve smyslu Taylorova rozvoje. V diskusi nezapomeňte, že funkce musí být ve zkoumaných bodech spojitá, aby byly smíšené derivace záměnné!

  • Je-li pro každé , pak má funkce v tomto bodě lokální minimum (plocha je pozitivně definitní)
  • Je-li pro každé , pak nadále nevíme (plocha je pozitivně semidefinitní)
  • Je-li pro každé , pak má funkce v tomto bodě lokální maximum (plocha je negativně definitní)
  • Je-li pro každé , pak nadále nevíme (plocha je negativně semidefinitní)
  • Střídá-li pro každé znaménko pak jde o sedlový bod (plocha je indefinitní)


Abychom zjistili, do které z těchto skupin kvadrika patří, použijeme Sylvesterovo kritérium: vybereme z J subdeterminanty (zleva shora) o velikostech . Pro případ dvou proměnných tedy ,. Pak:

  • Jsou-li všechny kladné , pak je kvadrika pozitivně definitivní (lokální minimum).
  • Jsou-li střídavě záporné a kladné (), pak je kvadrika negativně definitivní (lokální maximum).
  • Ve všech ostatních případech nevíme.

Příklad[editovat]

Hledejme extrémy . Z podmínky o nulových prvních derivací:

Nyní určíme z Taylorova rozvoje koeficienty A,B takto:

Sylvesterovo kritérium říká, že nevíme: . Z kvadriky je vidět, že kvadrika je pozitivně semidefinitní (nikde není záporná a pro hodnoty je nulová), proto nejsme schopni touto metodou extrém ověřit. (numericky: je to sedlo.)

Extrémy s vazbou[editovat]

Máme hledat extrémy funkce , kde zůstáváme na vazbách , kde .

Můžeme použít dvě metody:

A. Vyjádříme co nejvíce proměnných z podmínek
B. Na zbylé podmínky použijeme Lagrangeovy multiplikátory.


Má-li funkce v bodě extrém s vazbou (pokud jsme vazbu ještě nevyloučili pomocí bodu A.), potom platí:

Nyní potřebuji vyjádřit , čehož dosáhnu:

α. Vyjádřením podle z (♠) a dosazením do .
β. Využitím diferenciálních vztahů pro snížím počet nutných diferenciálů ve výsledné kvadrice (to je nutné pro správnost výsledku! - kvadrika musí mít stejný počet diferenciálů jako je stupňů volnosti na kterých se s řešením pohybujeme!):


α.[editovat]

Teď známe a , tedy máme všechny „kandidáty na extrém“. Nyní se chceme opět přesvědčit, zda extrém je minimum, maximum, nebo není vůbec. To určíme tak, že rozepíšeme totální diferenciál druhého řádu funkce

Do těchto vztahů dosadíme za a (které známe). Získáme tedy kvadratickou plochu, pro jejíž pozitivní/negativní definitnost použijeme výše zmíněné Sylvesterovo kritérium. Tím jsme problém vyřešili.

β.[editovat]

(Z těchto rovnic vyjádříme h diferenciálů, čímž zjednodušíme problém určení definitnosti kvadriky -- toto je pouze zjednodušující trik, není pro zbytek postupu nutný)

Příklad[editovat]

Podívejme se na naši známou fci s jednou vazbou . Použijeme podmínku (♠):

Vyjádřit x,y jde - vyjde bod (0,0) a čtyři body (z nichž 2 jsou komplexní a vyloučíme je) v závislosti na λ.

Reálné řešení vyjde jen pro reálné (první) λ. Dva body řešení lze zapsat jako

kde funkce dává n-tý kořen polynomu P(x) pro reálné kořeny řazeny vzestupně.

Z numerického řešení už je vidět, který z těchto dvou bodů je minimum a který maximum, abych předvedl metodu, ukážu ještě určení z druhého diferenciálu pro řešení 2 - minimum.

Použijeme bodu 2.

Zároveň ze druhé složky rovnice z (♠) víme, že

.

Tedy dosadíme do:

Aplikujeme-li převodní vztah pro diferenciál dy:

Jde tedy skutečně o minimum.

Původní verze článku[editovat]

původní verze článku