Hledání extrémů funkcí více proměnných

Na základě poznámek ze cvičení zpracoval Irigi

Algoritmy, které popíši fungují pro obecně n neznámých - ve všech textech ale budu psát pouze dvě souřadnice, i když napíšu, jak by se postupovalo pro souřadnic více.

Totální diferenciál

Totální diferenciál definuje limita

$\lim _{(h_{1},h_{2})\rightarrow (0,0)}{{f(x+h_{1},y+h_{2})-f(x,y)-{\vec {\mathrm {d} f}}(x,y)\cdot (h_{1},h_{2})} \over {\sqrt {h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}}\ \ \ (\clubsuit )$

Nutnou podmínkou pro existenci totálního diferenciálu je existence prvních parciálních derivací, pokud neexistují, zjevně neexistuje ani (♣). Pokud existují první parciální derivace, potom platí

${\vec {\mathrm {d} f}}(x,y)\cdot (h_{1},h_{2})={{\partial {f}} \over {\partial {x}}}h_{1}+{{\partial {f}} \over {\partial {y}}}h_{2}$

Postačující podmínkou je buďto spojitost prvních parciálních derivací, nebo existence (♣).

Příklad

Zjistěte zda a kde má funkce $(xy)^{1/3}$ totální diferenciál.

${{\partial {f}} \over {\partial {x}}}={{x^{-2/3}y^{1/3}} \over {3}}$

${{\partial {f}} \over {\partial {y}}}={{y^{-2/3}x^{1/3}} \over {3}}$

Je vidět, že derivace jsou mimo osy spojité, tudíž mimo osy existuje totální diferenciál. Na osách je funkční hodnota $(xy)^{1/3}=0$, ale první parciální derivace zde nejsou definovány (jsou v limitě nekonečné), proto na osách totální diferenciál není.

V počátku soustavy souřadnic jsou první parciální derivace nulové, protože

${{\partial {f}} \over {\partial {x}}}=\lim _{h\rightarrow 0}{{f(x+h,y)-f(x,y)} \over {h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{{0} \over {h}}=0$

a obdobně pro derivaci podle y.

Proto pokud totální diferenciál existuje, pak má hodnotu

${\vec {df}}(x,y)\cdot (h_{1},h_{2})=0$

Ověříme jeho existenci dosazením do (♣). Přejdeme k polárním souřadnicím:

$h_{1}=r\sin(\phi )\,$

$h_{2}=r\cos(\phi )\,$

Tedy dosadím do (♣):

$\lim _{r\rightarrow 0}{{(h_{1}h_{2})^{1/3}-0-0} \over {\sqrt {h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}}=\lim _{r\rightarrow 0}{{(r\sin(\phi )r\cos(\phi ))^{1/3}} \over {r}}$

Tato limita neexistuje (resp. závisí na úhlu φ), totální diferenciál tedy v počátku neexistuje.

Hledám-li extrém funkcí více proměnných $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$, prohledávám jednak „kandidáty“ na extrém a jednak hledám extrém na okraji, což je extrém s vazbou.

Lokální extrémy

1. Nutná podmínka pro to, aby funkce měla v bodě extrém je, aby první parciální derivace byly nulové (nebo aby v něm neexistovaly):

${{\partial {f}} \over {\partial {x}}}=0,{{\partial {f}} \over {\partial {y}}}=0,$

2. V těchto bodech může nastat jedna ze tří možností - je zde minimum, maximum nebo sedlový bod. Označíme si členy v Hessově matici (Hesián):

$H={\begin{pmatrix}{{\partial ^{2}f} \over {\partial x^{2}}}&{{\partial ^{2}f} \over {\partial x\partial y}}\\{{\partial ^{2}f} \over {\partial y\partial x}}&{{\partial ^{2}f} \over {\partial y^{2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B\\B&C\end{pmatrix}}$

Podle Taylorova rozvoje do druhého řádu (první derivace jsou nulové) nám zbývá plocha určená jako:

${{\partial ^{2}{f}} \over {\partial {x}^{2}}}\,\mathrm {d} x^{2}+2{{\partial ^{2}{f}} \over {\partial {x}\partial {y}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y+{{\partial ^{2}{f}} \over {\partial {y}^{2}}}\,\mathrm {d} y^{2}=A\,\mathrm {d} x^{2}+2B\,\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y+C\,\mathrm {d} y^{2}=K$

Pro více proměnných se rozšiřuje kvadriku ve smyslu Taylorova rozvoje. V diskusi nezapomeňte, že funkce musí být ve zkoumaných bodech spojitá, aby byly smíšené derivace záměnné!

• Je-li pro každé $(x,y)\neq (0,0)$ $K>0\,$, pak má funkce v tomto bodě lokální minimum (plocha je pozitivně definitní)
• Je-li pro každé $(x,y)\neq (0,0)$ $K\geq 0$, pak nadále nevíme (plocha je pozitivně semidefinitní)
• Je-li pro každé $(x,y)\neq (0,0)$ $K<0\,$, pak má funkce v tomto bodě lokální maximum (plocha je negativně definitní)
• Je-li pro každé $(x,y)\neq (0,0)$ $K\leq 0$, pak nadále nevíme (plocha je negativně semidefinitní)
• Střídá-li pro každé $(x,y)\neq (0,0)$ $K\,$ znaménko pak jde o sedlový bod (plocha je indefinitní)

Abychom zjistili, do které z těchto skupin kvadrika patří, použijeme Sylvesterovo kritérium: vybereme z J subdeterminanty (zleva shora) o velikostech $1,2,...,n$. Pro případ dvou proměnných tedy $D_{1}=A$,$D_{2}=AC-B^{2}$. Pak:

• Jsou-li všechny $D_{i}$ kladné $(A>0,AC-B^{2}>0)$, pak je kvadrika pozitivně definitivní (lokální minimum).
• Jsou-li $D_{i}$ střídavě záporné a kladné ($A<0,AC-B^{2}>0$), pak je kvadrika negativně definitivní (lokální maximum).
• Ve všech ostatních případech nevíme.

Příklad

Hledejme extrémy $f=x^{2}+y^{3}x$. Z podmínky o nulových prvních derivací:

${{\partial {f}} \over {\partial {x}}}=2x+y^{3}=0,{{\partial {f}} \over {\partial {y}}}=3y^{2}x=0\Rightarrow x=0,y=0$

Nyní určíme z Taylorova rozvoje koeficienty A,B takto:

$A=2,B=3y^{2}=0,C=6yx=0\Rightarrow K=2\mathrm {d} \ x^{2}$

Sylvesterovo kritérium říká, že nevíme: $A>1,AC-B^{2}=0$. Z kvadriky je vidět, že kvadrika je pozitivně semidefinitní (nikde není záporná a pro hodnoty $(0,y)$ je nulová), proto nejsme schopni touto metodou extrém ověřit. (numericky: je to sedlo.)

Extrémy s vazbou

Máme hledat extrémy funkce $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$, kde zůstáváme na vazbách $g_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),...,g_{h}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$, kde $h<n$.

Můžeme použít dvě metody:

A. Vyjádříme co nejvíce proměnných z podmínek $g_{i}(...)$

B. Na zbylé podmínky použijeme Lagrangeovy multiplikátory.

Má-li funkce v bodě extrém s vazbou (pokud jsme vazbu ještě nevyloučili pomocí bodu A.), potom platí:

$\nabla \left(f(\dots )-\sum \lambda _{i}g_{i}(\dots )\right)=0\ \ \ \ \ \ (\spadesuit )$

Nyní potřebuji vyjádřit $\lambda _{1},...,\lambda _{h}$, čehož dosáhnu:

α. Vyjádřením $x,y,...$ podle $\lambda _{i}$ z (♠) a dosazením do $g_{i}(...)=0$.

β. Využitím diferenciálních vztahů pro $g_{i}(...)$ snížím počet nutných diferenciálů ve výsledné kvadrice (to je nutné pro správnost výsledku! - kvadrika musí mít stejný počet diferenciálů jako je stupňů volnosti na kterých se s řešením pohybujeme!):

α.

Teď známe $\lambda _{i}$ a $x,y,...$, tedy máme všechny „kandidáty na extrém“. Nyní se chceme opět přesvědčit, zda extrém je minimum, maximum, nebo není vůbec. To určíme tak, že rozepíšeme totální diferenciál druhého řádu funkce $F=f-\lambda _{i}g_{i}$

$\mathrm {d} ^{2}F={{\partial ^{2}{(f-\sum \lambda _{i}g_{i})}} \over {\partial {x^{2}}}}\mathrm {d} x^{2}+2{{\partial ^{2}{(f-\sum \lambda _{i}g_{i})}} \over {\partial {x}\partial {y}}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y+{{\partial ^{2}{(f-\sum \lambda _{i}g_{i})}} \over {\partial {y^{2}}}}\mathrm {d} y^{2}$

Do těchto vztahů dosadíme za $\lambda _{i}$ a $x,y,...$ (které známe). Získáme tedy kvadratickou plochu, pro jejíž pozitivní/negativní definitnost použijeme výše zmíněné Sylvesterovo kritérium. Tím jsme problém vyřešili.

β.

$\mathrm {d} g_{i}={{\partial {g_{i}}} \over {\partial {x}}}\mathrm {d} x+{{\partial {g_{i}}} \over {\partial {y}}}\mathrm {d} y+\dots =0$

(Z těchto rovnic vyjádříme h diferenciálů, čímž zjednodušíme problém určení definitnosti kvadriky -- toto je pouze zjednodušující trik, není pro zbytek postupu nutný)

Příklad

Podívejme se na naši známou fci $f=x^{2}+y^{3}x$ s jednou vazbou $g=x^{2}+y^{2}-1=0$. Použijeme podmínku (♠):

$\nabla f(\dots )=\lambda \nabla g(\dots )$

$(2x+y^{3},3y^{2}x)=\lambda (2x,2y)\,$

Vyjádřit x,y jde - vyjde bod (0,0) a čtyři body (z nichž 2 jsou komplexní a vyloučíme je) v závislosti na λ.

$x=0,y=0,\,$

$x={\mathrm {i} {\sqrt {2}}{{(\lambda ^{2}-\lambda )}^{3 \over 4}} \over {3^{3/4}(1-\lambda )}},y={{\mathrm {i} {\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{\lambda ^{2}-\lambda }}} \over {\sqrt[{4}]{3}}}$

$x={{{\sqrt {2}}{{({{\lambda }^{2}}-\lambda )}^{3/4}}} \over {{3^{3/4}}(1-\lambda )}},y=-{{\sqrt {2}} \over {\sqrt[{4}]{{{\lambda }^{2}}-\lambda }}}{\sqrt[{4}]{3}}$

$x={{\mathrm {i} {\sqrt {2}}{{\lambda ^{2}-\lambda )}^{3/4}}} \over {{3^{3/4}}(\lambda -1)}},y=-{{\mathrm {i} {\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{{{\lambda }^{2}}-\lambda }}} \over {\sqrt[{4}]{3}}}$

$x={{{\sqrt {2}}{{({{\lambda }^{2}}-\lambda )}^{3/4}}} \over {{3^{3/4}}(\lambda -1)}},y={{{\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{{{\lambda }^{2}}-\lambda }}} \over {\sqrt[{4}]{3}}}$

$\lambda ={{1} \over {8}}\left(4-{{13} \over {\sqrt[{3}]{62-3{\sqrt {183}}}}}-{\sqrt[{3}]{62-3{\sqrt {183}}}}\right)$

$\lambda ={{1} \over {2}}+{{13\left(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)} \over {16{\sqrt[{3}]{62-3{\sqrt {183}}}}}}+{{1} \over {16}}\left(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{62-3{\sqrt {183}}}}$

$\lambda ={{1} \over {2}}+{{13\left(1-{\sqrt {3}}\right)} \over {16{\sqrt[{3}]{62-3{\sqrt {183}}}}}}+{{1} \over {16}}\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{62-3{\sqrt {183}}}}$

Reálné řešení vyjde jen pro reálné (první) λ. Dva body řešení lze zapsat jako

$(x,y)=(\mathrm {Root} (16x^{6}-24x^{4}+13x^{2}-1,2),\mathrm {Root} (16x^{6}-24x^{4}+13x^{2}-4,2))\approx (0.302339,0.953201),$

kde funkce $\mathrm {Root} (P(x),n)$ dává n-tý kořen polynomu P(x) pro reálné kořeny řazeny vzestupně.

Z numerického řešení už je vidět, který z těchto dvou bodů je minimum a který maximum, abych předvedl metodu, ukážu ještě určení z druhého diferenciálu pro řešení 2 - minimum.

Použijeme bodu 2.

$2x\ \mathrm {d} x+2y\ \mathrm {d} y=0\Rightarrow \mathrm {d} y=-{{2x} \over {2y}}\mathrm {d} x$

Zároveň ze druhé složky rovnice z (♠) víme, že

$3y^{2}x=2y\lambda \Rightarrow y={{2\lambda } \over {3x}}$.

Tedy dosadíme do:

$\mathrm {d} ^{2}F=A\,\mathrm {d} x^{2}+2B\,\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y+C\,\mathrm {d} y^{2}$

$A=\mathrm {Root} (16x^{3}-48x^{2}+9x-8,1)\approx +2.86457$

${B \over 3}=\mathrm {Root} (16x^{3}-24x^{2}+13x-4,1)\approx +0.908591$

$C=\mathrm {Root} (16x^{3}-48x^{2}+9x+54,1)\approx -0.864568$

Aplikujeme-li převodní vztah pro diferenciál dy:

$\mathrm {d} ^{2}F=(A-2{{x} \over {y}}B+{{x^{2}} \over {y^{2}}}C)=\mathrm {Root} (2x^{3}+3x^{2}-244,1)\mathrm {d} x^{2}\approx 4.50672>0$

Jde tedy skutečně o minimum.

Původní verze článku

původní verze článku