Geometrie/Hermitova kubika

Popis

Známe-li dva řídící body a jejich tečné vektory, můžeme použít Hermitovu interpolaci a nalézt tzv. Hermitovu kubiku. Poloha této křivky je tedy určena dvěma řídícími body a její tvar závisí na velikosti a směru jejich tečných vektorů. Této interpolace se využívá např. v C1 kubické interpolaci, která je představitelem interpolace po obloucích.

Vyjádření

Hemitova kubika bývá nejčastěji vyjádřena ve tvaru

$P(u)=H_{0}^{3}(u)P_{0}+H_{1}^{3}(u)P_{0}^{'}+H_{2}^{3}(u)P_{1}^{'}+H_{3}^{3}(u)P_{1},$

kde

$P_{0}^{},P_{1}^{}$ jsou počáteční resp. koncový bod a $P_{0}^{'},P_{1}^{'}$ jsou tečny v počátečním resp. koncovém bodě,

$H_{i}^{3}(u)$ jsou kubické Hermitovy polynomy tvaru:

$H_{0}^{3}(u)=B_{0}^{3}(u)+B_{1}^{3}(u)=2u^{3}-3u^{2}+1$

$H_{1}^{3}(u)={\frac {1}{3}}B_{1}^{3}(u)=u^{3}-2u^{2}+u$

$H_{2}^{3}(u)=-{\frac {1}{3}}B_{2}^{3}(u)=u^{3}-u^{2}$

$H_{3}^{3}(u)=B_{2}^{3}(u)+B_{3}^{3}(u)=-2u^{3}+3u^{2}$

a $u_{}^{}$ náleží do intervalu $(0,1)_{}^{}$.

Snadno se dá ukázat, že platí:

$P(0)=P_{0},P(1)=P_{1},P^{'}(0)=P_{0}^{'},P^{'}(1)=P_{1}^{'}$

Vlastnosti

Čím je velikost vektoru větší, tím více se k němu křivka přimyká. Jsou-li oba vektory nulové, pak křivka degeneruje na úsečku mezi zadanými body.

Algoritmizace

Implementace se skládá ze dvou stěžejních funkcí:

hermituvPolynom(int m, double t)

implementace Hermitových polynomů,

GetPoint(double t)

vrací bod pro parametr t (z intervalu (0,1)) na Hermitově kubice.

Popišme si některé třídy a metody, jež algoritmus využívá.

Vector

třída popisující vektor,

Math

objekt prostředí CLR nabízející matematické metody,

Math.Pow

mocnina,

Richpoint

třída popisující bod,

ctrlPoly

body řídícího polygonu.

// Vraci kubický hermitův polynom H^3_k
private double hermituvPolynom(int m, double t)
{
	switch(m) // index hermitova polynomu
	{
		case(0): return 2*Math.Pow(t,3)-3*Math.Pow(t,2)+1;
		case(1): return Math.Pow(t,3)-2*Math.Pow(t,2)+t;
		case(2): return -2*Math.Pow(t,3)+3*Math.Pow(t,2);
		case(3): return Math.Pow(t,3)-Math.Pow(t,2);
	}
	return 0.0;
}

// vrací bod na Hermitově kubice
public override Vector GetPoint(double t)
{
	Vector result=new Vector(); // vysledný vektor
	Vector v;
	int ictr = 0, ideriv = 0;

	// hodnoty pro řídící body
	for (int k = 0; k < 4; k++)
	{
		v = k%2==0 ?
			((RichPoint)ctrlPoly[ictr++]).Locate : // řídící body
			(Vector)tecneVektory[ideriv++]; // tečné vektory
		result += hermituvPolynom(k, t) * v;
	}
	return result;
}

Autoři

Tento text vypracovali studenti Univerzity Palackého v Olomouci katedry Matematické informatiky jako zápočtový úkol do předmětu Počítačová geometrie.