Geometrie/Afinní transformace souřadnic

Geometrické transformace jsou jedněmi z nejčastěji používaných operací v počítačové grafice. Mezi afinní operace patří posunutí, otáčení, změna měřítka, zkosení a operace vzniklé jejich skládáním.

Vyjádření

Afinní transformace jsou vyjádřeny vztahem P' = P A, kde P je bodem, který transformujeme maticí A. Platí P' = [x' y' w'] = P A = [x y w] A. Matice A reprezentuje jednotlivé transformace, které mohou být i skládány.

Geometrické afinní transformace souřadnic nám umožňují bod P posunout, otočit nebo změnit jeho měřítko (týká se objektů, z těchto bodů složených).

Podrobnější rozepsání těchto transformací a jejich skládání viz níže.

Afinní geometrické transformace souřadnic

Posunutí

Transformace posunutí nebo také translace (move, translation) bodu P[X, Y] je určena vektorem posunutí

$p=(X_{T},Y_{T})=(X'-X,Y'-Y)$

Aplikací této transformace na bod P získáme bod P' o souřadnicích

$X'=X+X_{T}$
$Y'=Y+Y_{T}$

Maticové vyjádření transformace posunutí má pro homogenní souřadnice tvar

$A_{T}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\X_{T}&Y_{T}&1\end{bmatrix}}$

Obr.1: Posunutí - Červená křivka je výsledkem posunutí původní modré křivky o vektor a^→.

Otáčení

Otáčením (rotation) bodu P kolem počátku soustavy souřadnic O=[0,0] o orientovaný úhel α získáme bod P' o souřadnicích

$X'=Xcos\alpha -Ysin\alpha$
$Y'=Xsin\alpha +Ycos\alpha$

Maticové vyjádření transformace otáčení má pro homogenní souřadnice tvar

$A_{R}={\begin{bmatrix}cos\alpha &-sin\alpha &0\\sin\alpha &cos\alpha &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Obr.2: Otočení - Červená křivka je výsledkem otočení původní modré křivky o 180⁰.

Změna měřítka

Změna měřítka (scale, zoom) je změnou velikosti objektu ve směru souřadnicových os. Pokud je absolutní hodnota koeficientu měřítkování v intervalu (0, 1), dochází ke zmenšení transformovaného objektu. Je-li absolutní hodnota koeficientu větší než jedna, dojde k prodloužení, je-li znaménko záporné, dochází k prodloužení či zmenšení v opačném směru.

Rovnice pro změnu měřítka bodu P mají tvar

$X'=S_{x}X$
$Y'=S_{y}Y$

kde S_x je koeficient změny měřítka ve směru souřadnicové osy x a S_y je koeficient změny měřítka ve směru souřadnicové osy y.

Odpovídající transformační matice má pro homogenní souřadnice tvar

$A_{S}={\begin{bmatrix}S_{x}&0&0\\0&S_{y}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Obr.3: Změna měřítka - Červená křivka je výsledkem zvětšení původní modré křivky, zelená pak jejím zmenšením.
Červená křivka: Scale X = Scale Y = 1,2
Zelená křivka: Scale X = Scale Y = 0,45

Skládání transformací

Při postupném aplikování transformací na bod P záleží na pořadí, v jakém se transformace provádějí. Je rozdíl, jestliže bod posuneme a poté otočíme okolo počátku souřadnicového systému, nebo zda bod nejprve otočíme a poté provedeme transformaci posunutí. Transformaci vzniklou složením z více transformací lze vyjádřit jedinou maticí, kterou získáme postupným násobením matic, reprezentujících dílčí transformace. Protože záleží na pořadí transformací, záleží i na pořadí násobení matic. Jelikož používáme zápis P'=PA , musíme matice reprezentující jednotlivé transformace násobit zprava.

Platí, že pokud násobíme transformační matici, maticí k ní inverzní, dostaneme původní (netransformované) souřadnice. Jinak řečeno inverzní transformace je reprezentována inverzní maticí.

Příklad

Odvození transformační matice pro otáčení o úhel α okolo bodu R[x_R ,y_R]

Operaci provedeme následujícím způsobem: bod R nejprve přemístíme pomocí matice A_M do počátku souřadnicového systému, poté provedeme otočení o úhel α pomocí matice A_R a nakonec bod přemístíme zpět do původní polohy inverzní matice A^-1_M. Vše provedeme tak, že vytvoříme matici, která vznikne složením matic vyjadřujících všechny tři operace. Výsledná matice je součin $A=A_{M}A_{R}A_{M}^{-1}$ .

(Pozn. Výše uvedené vztahy a vzorce jsou vztaženy ke 2D. Jejich 3D verze jsou podobné a z nich lehce odvoditelné.)

Autoři

Tento text vypracovali studenti Univerzity Palackého v Olomouci katedry Matematické informatiky jako zápočtový úkol do předmětu Počítačová geometrie.