Úvod do algebry/Rozklad polynomů na parciální zlomky

Řekněme, že máme tzv. racionální funkci, která má obecně tvar

${\frac {P(x)}{Q(x)}}$,

kde P i Q jsou polynomy a P má nižší stupeň než Q. (V případě, že P má vyšší stupeň, lze tyto polynomy vydělit se zbytkem.)

Pak lze tyto polynomy vyjádřit jako součet zlomků, jejichž jmenovateli jsou jednotlivé kořenové činitele polynomu Q. To je velmi výhodné např. pro integrování (protože to umíme).

Rozklad polynomu s reálnými kořeny

Předpokládejme, že Q má jen reálné kořeny a můžeme jej výhodně zapsat jako součin kořenových činitelů:

$Q(x)=(x-a_{1})^{k_{1}}.(x-a_{2})^{k_{2}}.\cdots .(x-a_{n})^{k_{n}}$,

kde a₁ až a_n jsou jednotlivé kořeny polynomu a k₁ až k_n jsou jejich příslušné násobnosti.

Pak lze vždy vyjádřit výraz

${\frac {1}{Q(x)}}={\frac {1}{(x-a_{1})^{k_{1}}.(x-a_{2})^{k_{2}}.\cdots .(x-a_{n})^{k_{n}}}}$,

jako součet parciálních zlomků:

$Q(x)=f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}$,

kde f₁ až f_n odpovídají součtu zlomků, které mají kořenový činitel ve jmenovateli (pokud má vyšší násobnost, tak ve všech stupních od 1 do násobnosti k_n):

$f_{1}={\frac {A_{1}}{(x-a_{1})^{k_{1}}}}+{\frac {B_{1}}{(x-a_{1})^{k_{1}-1}}}+\cdots +{\frac {Z_{1}}{(x-a_{1})^{1}}}$

$f_{2}={\frac {A_{2}}{(x-a_{2})^{k_{2}}}}+{\frac {B_{2}}{(x-a_{2})^{k_{2}-1}}}+\cdots +{\frac {Z_{2}}{(x-a_{2})^{1}}}$ atd. pro každý kořen do a_n

Pro složitější polynomy těchto parciálních zlomků může vzniknout hodně, dají se ale docela snadno vypátrat použitím matic.