Úvod do algebry/Polynomy

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Co je to polynom?[editovat]

Polynom neboli mnohočlen je výraz sestávající jen ze součtů (rozdílů), násobků a celočíselných mocnin proměnných. Obecný polynom může vypadat třeba takto:

V dalším textu se ale budeme zabývat jen polynomy jedné proměnné x, které můžeme zapsat v obecném tvaru:

Nebo profesionálněji:

Konstanty A0 až An jsou koeficienty a může se jednat o libovolná reálná nebo komplexní čísla.

Stupeň polynomu[editovat]

Nejvyšší exponent s nenulovou hodnotou v polynomu určuje jeho stupeň. V uvedeném příkladu má polynom stupeň n.

Polynom P(x)=0 se nazývá nulový polynom a jeho stupeň položíme roven -1.

Polynom stupně 0 je (nenulová) konstanta. Graf polynomu stupně 1 je přímka, polynomu stupně 2 parabola apod.

Kořeny polynomu[editovat]

Kořen polynomu P je takové číslo x, pro které má P(x) hodnotu 0.

Polynom prvního stupně má vždy 1 kořen, neboť vždy lze snadno nalézt takové x, pro které platí:

Jak známo, polynom druhého stupně (kvadratická funkce) má dvě, jedno nebo žádné řešení v oboru reálných čísel. To odpovídá buď dvěma reálným, jednomu reálnému dvojnásobnému nebo dvěma komplexním kořenům (komplexně sdruženým).

Polynom stupně n nejméně 1 a nejvýše n různých kořenů.

Pozn: Pokud má polynom

  • všechny koeficienty reálné a
  • některé kořeny komplexní,

jsou všechny komplexní kořeny komplexně sdružené se svým protějškem. (Tzn. mají vzájemně shodnou reálnou, ale opačnou imaginární hodnotu.) Pokud má polynom obecně komplexní koeficienty(y), jsou jeho kořeny v obecném případě komplexní a nejsou komplexně sdružené.

Bezoutova věta[editovat]

Předpokládejme, že P(x) je libovolný polynom stupně vyššího než 1; dále, že y je libovolné číslo. Pak lze najít polynom Q

Polynom Q(x) má stupeň o 1 nižší než P(x).

Rozklad polynomu na kořenové činitele[editovat]

Nenulové polynomy reálnými koeficienty lze vyjádřit také jako součin kořenových činitelů, a to ve tvaru

kde jsou jednotlivé kořeny a jejich příslušné násobnosti.

Podobná operace se dá provést i u polynomů s komplexními koeficienty.

Převedení součinu kořenových činitelů na standardní tvar polynomu je maličkost, stačí je roznásobit. Opačný převod je výrazně těžší:

  • U polynomu nulového nebo s nulovým stupněm nemá smysl se o kořenovém činiteli bavit.
  • Polynom stupně 1 už de facto v tomto tvaru je.
  • Pro polynom 2. stupně použijeme známou rovnici

a

a nenecháme se odradit odmocňováním záporných čísel.

  • Rozklad polynomů vyšších stupňů už je v obecném případě dosti náročný až (od 5. stupně) analyticky nemožný.