Úvod do algebry/Řešení soustavy lineárních rovnic

Z Wikiknih
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Soustava lineárních rovnic[editovat]

Definice: Soustavou lineárních rovnic o neznámých nazýváme množinu rovnic ve tvaru

Čísla jsou koeficienty soustavy. Čísla jsou pravé strany.

Ekvivalentní úpravy[editovat]

Základ řešení soustav lineárních rovnic je v tom, že soustavu upravíme (nahradíme) jinou soustavou, která má stejné řešení, ale je jednodušší.

Ekvivalentními úpravami soustavy lineárních rovnic nazýváme úpravy:

  1. Vzájemná výměna libovolných dvou rovnic soustavy
  2. Násobení obou stran některé rovnice soustavy nenulovým (!) číslem
  3. Přičtení násobku některé rovnice soustavy k jiné rovnici soustavy

Je zřejmé, že s pomocí ekvivalentních úprav můžeme z upravené soustavy získat opět původní soustavu:

  • Předpokládejme, že soustava A´ vznikla ze soustavy A vzájemnou výměnou i-té a j-té rovnice (podle pravidla 1). Tatáž úprava na rovnici A´ vede opět k A.
  • Nyní předpokládejme, že soustava A´ vznikla ze soustavy A násobením i-tého řádku nenulovým číslem (podle pravidla 2). Násobením stejného řádku soustavy A´ číslem získáme zpět soustavu A.
  • Konečně, pokud soustava A´ vznikla ze soustavy A přičtením -násobku i-té rovnice k j-té rovnici (je zřejmé, že ), potom přičtení -násobku i-té rovnice soustavy A´ k j-té rovnici soustavy A´ vede zpět k A.

Dvě soustavy lineárních rovnic jsou ekvivalentní soustavy, pokud jednu z nich (je jedno jakou) lze získat z druhé ekvivalentními úpravami.


Věta: Jsou-li dvě soustavy rovnic ekvivalentní, potom mají stejné řešení.