Uživatel:Tomas.lang/Integrování/Metoda Per Partes

Z Wikiknih

Důležitou metodou při výpočtu integrálů je metoda per partes (česky „po částech“). Tato metoda pomáhá integrovat součiny dvou (a více) funkcí (na základě věty o derivaci součinu) a rozložit je na nový integrál, pro nás snadněji integrovatelný (při správném použití).

Obsah

1 Formální zápis metody a důkaz
- 1.1 Důkaz
2 Příklady výpočtu
3 Příklady výpočtu
4 Příklady výpočtu

[editovat] Formální zápis metody a důkaz

Pokud mají funkce $u = u (x)$ a $v = v (x)$ spojité derivace na intervalu $(a; b)$ (tedy jsou i samy spojité), pak na intervalu $(a; b)$ platí:

$\int u'v\,\mathrm{d}x = uv - \int uv'\,\mathrm{d}x$

$\int uv'\,\mathrm{d}x = uv - \int u'v\,\mathrm{d}x$

[editovat] Důkaz

$(uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime$ (věta o derivaci součinu)

$\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int u'v\,\mathrm{d}x + \int uv'\,\mathrm{d}x$

$uv = \int u'v\,\mathrm{d}x + \int uv'\,\mathrm{d}x$

$\int u'v\,\mathrm{d}x = uv - \int uv'\,\mathrm{d}x$ (záměnou $u \leftrightarrow v$ získáme i druhou podobu metody)

[editovat] Příklady výpočtu

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $\ln x \,\!$ .

Řešení: Za derivovanou funkci si dosadíme fci $\ln x \,\!$ , za zderivovanou fci pak $1\,\!$ neboť $\ln x = 1 \cdot \ln x \,\!$

Výpočet:

$\int \ln x\,\mathrm{d}x = \begin{vmatrix}\ u = \ln x & u' = \frac{1}{x} \\ v' = 1 & v = x \end{vmatrix} = x \ln x - \int\mathrm{d}x = x \ln x - x + C$

Pokud bychom zvolily funkce naopak, dostaly by jsme se ke tvaru
$x \int \ln x\,\mathrm{d}x - \int \left( \int \ln x\,\mathrm{d}x \right) \,\mathrm{d}x$
takže je důležité jaké funkce zvolíte.

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $x^2 \cos x \,\!$ .

Řešení: Za derivovanou funkci budeme volit funkci $x^2 \,\!$ , neboť se jí takto postupně zbavíme, pokud bychom zvolili funkci $\cos x \,\!$ , pouze by se nám cyklicky zaměnovala a nic bychom tím nezískaly.

Výpočet:

$\int x^2 \cos x\,\mathrm{d}x = \begin{vmatrix}\ u = x^2 & u' = 2x \\ v' = \cos x & v = \sin x \end{vmatrix} = x^2 \sin x - 2\int x \sin x\,\mathrm{d}x = \begin{vmatrix}\ u = x & u' = 1 \\ v' = \sin x & v = -\cos x \end{vmatrix} =$

$= x^2 \sin x - 2 \left( -x\cos x + \int \cos x\,\mathrm{d}x \right) = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$

Metodu per partes jsme v tomto případě musely použít dvakrát.

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $\sin x \cos x \,\!$ .

Řešení: V tomto případě je jedno jak zvolíme funkce, ale je např. příjemnější zvolit za derivovanou fci $\sin x \,\!$ , neboť se tak vyhneme znamínkové změně.

Výpočet:

$\int \sin x \cos x\,\mathrm{d}x = \begin{vmatrix}\ u = \sin x & u' = \cos x \\ v' = \cos x & v = \sin x \end{vmatrix} = \sin^2 x - \int \sin x \cos x\,\mathrm{d}x$

$\int \sin x \cos x\,\mathrm{d}x = \sin^2 x - \int \sin x \cos x\,\mathrm{d}x$

$2 \int \sin x \cos x\,\mathrm{d}x = \sin^2 x$

$\int \sin x \cos x\,\mathrm{d}x = \frac{\sin^2 x}{2} + C$

Pokud se dostaneme při metodě per partes znovu k původnímu integrálu, je za určitých okolností možno ho např. touto cestou vypočítat.

[editovat] Příklady výpočtu

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $\ln x \,\!$ .

Řešení: Za derivovanou funkci si dosadíme fci $\ln x \,\!$ , za zderivovanou fci pak $1\,\!$ neboť $\ln x = 1 \cdot \ln x \,\!$

Výpočet:

$\int(\ln x)\,\mathrm{d}x = \begin{vmatrix}\ u = \ln x & u' = \frac{1}{x} \\ v' = 1 & v = x \end{vmatrix} = x \ln x - \int\mathrm{d}x = x \ln x - x + C$

Pokud bychom zvolily funkce naopak, dostaly by jsme se ke tvaru
$x \int(\ln x)\,\mathrm{d}x - \int \left( \int(\ln x)\,\mathrm{d}x \right) \,\mathrm{d}x$
takže je důležité jaké funkce zvolíte.

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $x^2 \cos x \,\!$ .

Řešení: Za derivovanou funkci budeme volit funkci $x^2 \,\!$ , neboť se jí takto postupně zbavíme, pokud bychom zvolili funkci $\cos x \,\!$ , pouze by se nám cyklicky zaměnovala a nic bychom tím nezískaly.

Výpočet:

$\int(x^2 \cos x)\,\mathrm{d}x = \begin{vmatrix}\ u = x^2 & u' = 2x \\ v' = \cos x & v = \sin x \end{vmatrix} = x^2 \sin x - 2\int(x \sin x)\,\mathrm{d}x = \begin{vmatrix}\ u = x & u' = 1 \\ v' = \sin x & v = -\cos x \end{vmatrix} =$

$= x^2 \sin x - 2 \left( -x\cos x + \int(\cos x)\,\mathrm{d}x \right) = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$

Metodu per partes jsme v tomto případě musely použít dvakrát.

Zadání: Vypočítejte integrál z funkce $\sin x \cos x \,\!$ .

Řešení: V tomto případě je jedno jak zvolíme funkce, ale je např. příjemnější zvolit za derivovanou fci $\sin x \,\!$ , neboť se tak vyhneme znamínkové změně.

Výpočet:

$\int(\sin x \cos x)\,\mathrm{d}x = \begin{vmatrix}\ u = \sin x & u' = \cos x \\ v' = \cos x & v = \sin x \end{vmatrix} = \sin^2 x - \int(\sin x \cos x)\,\mathrm{d}x$

$\int(\sin x \cos x)\,\mathrm{d}x = \sin^2 x - \int(\sin x \cos x)\,\mathrm{d}x$

$2 \int(\sin x \cos x)\,\mathrm{d}x = \sin^2 x$

$\int(\sin x \cos x)\,\mathrm{d}x = \frac{\sin^2 x}{2} + C$

Pokud se dostaneme při metodě per partes znovu k původnímu integrálu, je za určitých okolností možno ho např. touto cestou vypočítat.

[editovat] Příklady výpočtu

Příklad 1. Integrování funkce $\ln x \,\!$
Špatné použití:

$\int(\ln x)\,\mathrm{d}x = \begin{vmatrix}\ u = x & u' = 1 \\ v' = \ln x & v = \int(\ln x)\,\mathrm{d}x \end{vmatrix} = x \int(\ln x)\,\mathrm{d}x - \int \left( \int(\ln x)\,\mathrm{d}x \right) \,\mathrm{d}x$

Chyba byla v špatně zvolené derivované funkci.

Správné použití:

$\int(\ln x)\,\mathrm{d}x = \begin{vmatrix}\ u = \ln x & u' = \frac{1}{x} \\ v' = 1 & v = x \end{vmatrix} = x \ln x - \int\mathrm{d}x = x \ln x - x + C$

Využití rozkladu fce $ln x$ na součin $1 \cdot \ln x \,\!$

Příklad 2. Integrování funkce $x^2 \cos x \,\!$

$\int(x^2 \cos x)\,\mathrm{d}x = \begin{vmatrix}\ u = x^2 & u' = 2x \\ v' = \cos x & v = \sin x \end{vmatrix} = x^2 \sin x - 2\int(x \sin x)\,\mathrm{d}x = \begin{vmatrix}\ u = x & u' = 1 \\ v' = \sin x & v = -\cos x \end{vmatrix} =$

$= x^2 \sin x - 2 \left( -x\cos x + \int(\cos x)\,\mathrm{d}x \right) = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$

Použití vícenásobného (několikrát) rozkladu pomocí metody per partes.

Příklad 3. Integrování funkce $\sin x \cos x \,\!$

$\int(\sin x \cos x)\,\mathrm{d}x = \begin{vmatrix}\ u = \sin x & u' = \cos x \\ v' = \cos x & v = \sin x \end{vmatrix} = \sin^2 x - \int(\sin x \cos x)\,\mathrm{d}x$

$\int(\sin x \cos x)\,\mathrm{d}x = \sin^2 x - \int(\sin x \cos x)\,\mathrm{d}x$

$2 \int(\sin x \cos x)\,\mathrm{d}x = \sin^2 x$

$\int(\sin x \cos x)\,\mathrm{d}x = \frac{\sin^2 x}{2} + C$

Pokud se dostaneme při metodě per partes znovu k původnímu integrálu, je za určitých okolností možno ho např. touto cestou vypočítat.

Uživatel:Tomas.lang/Integrování/Metoda Per Partes

Z Wikiknih

Obsah

[editovat] Formální zápis metody a důkaz

[editovat] Důkaz

[editovat] Příklady výpočtu

[editovat] Příklady výpočtu

[editovat] Příklady výpočtu

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledat

Navigace

Tisk/export

Nástroje