Matematická analýza/Zavedení pojmu limita funkce

Definice: Řekneme, že je funkce $f(x)\,\!$ spojitá v bodě $a\in \mathbb {R}$, pokud $\forall (\varepsilon >0)\in \mathbb {R}$ existuje takové číslo $(\delta >0)\in \mathbb {R}$, že $\forall x:\mid x-a\mid <\delta$ je $\mid f(x)-f(a)\mid <\varepsilon$.

Každá funkce, která vznikne pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání se nazývá elementární funkce. Každá elementární funkce je spojitá (na svém definičním oboru).

Vlastní limita

Definice: Nechť $a\,\!$ je hromadný bod definičního oboru. Pak řekneme, že funkce $f(x)\,\!$ má v bodě $a\in \mathbb {R}$ vlastní limitu

$\lim _{x\to a}f(x)=b$

tehdy, a jen tehdy když $\forall (\varepsilon >0)\in \mathbb {R} \ \exists (\delta >0)\in \mathbb {R}$ že $\forall x$ splňující podmínku $0<\mid x-a\mid <\delta$ platí $\mid f(x)-b\mid <\varepsilon$.

Nevlastní limita

Definice: Nechť $a\,\!$ je hromadný bod definičního oboru. Pak řekneme, že funkce $f(x)\,\!$ má v bodě $a\in \mathbb {R}$ nevlastní limitu

$\lim _{x\to a}f(x)=\infty$, resp. $\lim _{x\to a}f(x)=-\infty$

tehdy, a jen tehdy když $\forall M\in \mathbb {R} \ \exists (\delta >0)\in \mathbb {R}$ že $\forall x$ splňující podmínku $0<\mid x-a\mid <\delta$ platí $f(x)>M\,\!$, resp. $f(x)<M\,\!$.