Hledání extrémů funkcí více proměnných

Z Wikiknih

Na základě poznámek ze cvičení zpracoval Irigi

Algoritmy, které popíši fungují pro obecně n neznámých - ve všech textech ale budu psát pouze dvě souřadnice, i když napíšu, jak by se postupovalo pro souřadnic více.

Obsah

1 Totální diferenciál
- 1.1 Příklad
2 Lokální extrémy
- 2.1 Příklad
3 Extrémy s vazbou
4 Původní verze článku

[editovat] Totální diferenciál

Totální diferenciál definuje limita

$\lim_{(h_1,h_2)\rightarrow(0,0)} {{f(x+h_1,y+h_2)-f(x,y)-\vec{\mathrm{d}f}(x,y)\cdot(h_1,h_2)}\over{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}} \ \ \ (\clubsuit)$

Nutnou podmínkou pro existenci totálního diferenciálu je existence prvních parciálních derivací, pokud neexistují, zjevně neexistuje ani (♣). Pokud existují první parciální derivace, potom platí

$\vec{\mathrm{d}f}(x,y)\cdot(h_1,h_2)={{\partial{f}}\over{\partial{x}}}h_1+ {{\partial{f}}\over{\partial{y}}}h_2$

Postačující podmínkou je buďto spojitost prvních parciálních derivací, nebo existence (♣).

[editovat] Příklad

Zjistěte zda a kde má funkce $(x y) 1 / 3$ totální diferenciál.

${{\partial{f}}\over{\partial{x}}}={{x^{-2/3}y^{1/3}}\over{3}}$

${{\partial{f}}\over{\partial{y}}}={{y^{-2/3}x^{1/3}}\over{3}}$

Je vidět, že derivace jsou mimo osy spojité, tudíž mimo osy existuje totální diferenciál. Na osách je funkční hodnota $(x y) 1 / 3 = 0$ , ale první parciální derivace zde nejsou definovány (jsou v limitě nekonečné), proto na osách totální diferenciál není.

V počátku soustavy souřadnic jsou první parciální derivace nulové, protože

${{\partial{f}}\over{\partial{x}}}=\lim_{h\rightarrow 0}{{f(x+h,y)-f(x,y)}\over{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}{{0}\over{h}}=0$

a obdobně pro derivaci podle y.

Proto pokud totální diferenciál existuje, pak má hodnotu

$\vec{df}(x,y)\cdot(h_1,h_2)=0$

Ověříme jeho existenci dosazením do (♣). Přejdeme k polárním souřadnicím:

$h_1=r\sin (\phi)\,$

$h_2=r\cos (\phi)\,$

Tedy dosadím do (♣):

$\lim_{r\rightarrow 0} {{{(h_1h_2)^{{1/3}}-0-0}}\over{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}}= \lim_{r\rightarrow 0} {{{(r\sin (\phi)r\cos (\phi))^{{1/3}}}}\over{r}}$

Tato limita neexistuje (resp. závisí na úhlu φ), totální diferenciál tedy v počátku neexistuje.

Hledám-li extrém funkcí více proměnných $f (x 1, x 2,..., x n)$ , prohledávám jednak „kandidáty“ na extrém a jednak hledám extrém na okraji, což je extrém s vazbou.

[editovat] Lokální extrémy

1. Nutná podmínka pro to, aby funkce měla v bodě extrém je, aby první parciální

derivace byly nulové (nebo aby v něm neexistovaly):

${{\partial{f}}\over{\partial{x}}}=0, {{\partial{f}}\over{\partial{y}}}=0,$

2. V těchto bodech může nastat jedna ze tří možností - je zde minimum, maximum

nebo sedlový bod. Označíme si členy v Jacobiho matici: }

$J= \begin{pmatrix} {{\partial^2 f}\over{\partial x^2 }} & {{\partial^2 f}\over{\partial x\partial y}} \\ {{\partial^2 f}\over{\partial y\partial x}} & {{\partial^2 f}\over{\partial y^2}} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix}$

Podle Taylorova rozvoje do druhého řádu (první derivace jsou nulové) nám zbývá plocha určená jako:

${{\partial^2{f}}\over{\partial{x}^2 }}\,\mathrm{d}x^2+ 2 {{\partial^2{f}}\over{\partial{x}\partial{y}}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y + {{\partial^2{f}}\over{\partial{y}^2}}\,\mathrm{d}y^2 = A\,\mathrm{d}x^2+ 2 B\,\mathrm{d}x\ \mathrm{d}y + C\,\mathrm{d}y^2=K$

Pro více proměnných se rozšiřuje kvadriku ve smyslu Taylorova rozvoje. V diskusi nezapomeňte, že funkce musí být ve zkoumaných bodech spojitá, aby byly smíšené derivace záměnné!

Je-li pro každé $(x,y) \neq (0,0)$ $K > 0\,$ , pak má funkce v tomto bodě lokální minimum (plocha je pozitivně definitní)
Je-li pro každé $(x,y) \neq (0,0)$ $K \geq 0$ , pak nadále nevíme (plocha je pozitivně semidefinitní)
Je-li pro každé $(x,y) \neq (0,0)$ $K < 0\,$ , pak má funkce v tomto bodě lokální maximum (plocha je negativní definitní)
Je-li pro každé $(x,y) \neq (0,0)$ $K \leq 0$ , pak nadále nevíme (plocha je negativně semidefinitní)
Střídá-li pro každé $(x,y) \neq (0,0)$ $K\,$ znaménko pak jde o sedlový bod (plocha je indefinitní)

Abychom zjistili, do které z těchto skupin kvadrika patří, použijeme Silvesterovo kritérium: vybereme z J subdeterminanty (zleva shora) o velikostech $1,2,..., n$ . Pro případ dvou proměnných tedy $D 1 = A$ , $D 2 = A C - B 2$ . Pak:

Jsou-li všechny $D i$ kladné $(A > 0, A C - B 2 > 0)$ , pak je kvadrika pozitivně definitivní (lokální minimum).
Jsou-li $D i$ střídavě záporné a kladné ( $A < 0, A C - B 2 > 0$ ), pak je kvadrika negativně definitivní (lokální maximum).
Ve všech ostatních případech nevíme.

[editovat] Příklad

Hledejme extrémy $f = x 2 + y 3 x$ . Z podmínky o nulových prvních derivací:

${{\partial{f}}\over{\partial{x}}}=2x+y^3=0, {{\partial{f}}\over{\partial{y}}}=3y^2x=0 \Rightarrow x=0,y=0$

Nyní určíme z Taylorova rozvoje koeficienty A,B takto:

$A=2,B=3y^2=0, C=6yx=0 \Rightarrow K=2\mathrm{d}\ x^2$

Silvesterovo kritérium říká, že nevíme: $A > 1, A C - B 2 = 0$ . Z kvadriky je vidět, že kvadrika je pozitivně semidefinitní (nikde není záporná a pro hodnoty $(0, y)$ je nulová), proto nejsme schopni touto metodou extrém ověřit. (numericky: je to sedlo.)

[editovat] Extrémy s vazbou

Máme hledat extrémy funkce $f (x 1, x 2,..., x n)$ , kde zůstáváme na vazbách $g 1 (x 1, x 2,..., x n),..., g h (x 1, x 2,..., x n)$ , kde $h < n$ .

Můžeme použít dvě metody:

A. Vyjádříme co nejvíce proměnných z podmínek

g i (...)

B. Na zbylé podmínky použijeme Lagrangeovy multiplikátory.

Má-li funkce v bodě extrém s vazbou (pokud jsme vazbu ještě nevyloučili pomocí bodu A.), potom platí:

$\nabla\left(f(\dots)-\sum\lambda_i g_i(\dots)\right)=0 \ \ \ \ \ \ (\spadesuit)$

Nyní potřebuji vyjádřit $λ 1,...,λ h$ , čehož dosáhnu:

α. Vyjádřením

x, y,...

podle

λ i

z (♠) a dosazením do

g i (...) = 0

.

β. Využitím diferenciálních vztahů pro

g i (...)

snížím počet nutných diferenciálů ve výsledné kvadrice (to je nutné pro správnost výsledku! - kvadrika musí mít stejný počet diferenciálů jako je stupňů volnosti na kterých se s řešením pohybujeme!):

[editovat] α.

Teď známe $λ i$ a $x, y,...$ , tedy máme všechny „kandidáty na extrém“. Nyní se chceme opět přesvědčit, zda extrém je minimum, maximum, nebo není vůbec. To určíme tak, že rozepíšeme totální diferenciál druhého řádu funkce $F = f - λ i g i$

$\mathrm{d}^2F ={{\partial^2{(f-\sum\lambda_i g_i)}}\over{\partial{x^2}}}\mathrm{d}x^2+ 2{{\partial^2{(f-\sum\lambda_i g_i)}}\over{\partial{x}\partial{y}}}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y+ {{\partial^2{(f-\sum\lambda_i g_i)}}\over{\partial{y^2}}}\mathrm{d}y^2$

Do těchto vztahů dosadíme za $λ i$ a $x, y,...$ (které známe). Získáme tedy kvadratickou plochu, pro jejíž pozitivní/negativní definitnost použijeme výše zmíněné Silvesterovo kritérium. Tím jsme problém vyřešili.

[editovat] β.

$\mathrm{d}g_i={{\partial{{g_i}}}\over{\partial{x}}}\mathrm{d}x+ {{\partial{{g_i}}}\over{\partial{y}}}\mathrm{d}y+\dots = 0$

(Z těchto rovnic vyjádříme h diferenciálů, čímž zjednodušíme problém určení definitnosti kvadriky -- toto je pouze zjednodušující trik, není pro zbytek postupu nutný)

[editovat] Příklad

Podívejme se na naši známou fci $f = x 2 + y 3 x$ s jednou vazbou $g = x 2 + y 2 - 1 = 0$ . Použijeme podmínku (♠):

$\nabla f(\dots)=\lambda \nabla g(\dots)$

$(2x+y^3,3y^2x)=\lambda (2x,2y)\,$

Vyjádřit x,y jde - vyjde bod (0,0) a čtyři body (z nichž 2 jsou komplexní a vyloučíme je) v závislosti na λ.

$x=0 , y= 0,\,$

$x= {{{\mathrm{i} \sqrt{2} {{{(\lambda^2-\lambda)}^{3\over 4}}}\over {3^{3/4} (1-\lambda )}} }}, y= {{{\mathrm{i} \sqrt{2} {\sqrt[4]{\lambda^2-\lambda}}}}\over{{\sqrt[4]{3}}}}$

$x= {{{\sqrt{2}} {{({{\lambda }^2}-\lambda )}^{3/4}}}\over{{3^{3/4}} (1-\lambda )}},y= -{{{\sqrt{2}}\over {\sqrt[4]{{{\lambda }^2}-\lambda }}}}{{\sqrt[4]{3}}}$

$x= {{\mathrm{i} {\sqrt{2}} {{\lambda^2-\lambda)}^{3/4}}}\over{{3^{3/4}} (\lambda -1)}},y= -{{\mathrm{i} {\sqrt{2}} {\sqrt[4]{{{\lambda }^2}-\lambda }}}\over{{\sqrt[4]{3}}}}$

$x= {{{\sqrt{2}} {{({{\lambda }^2}-\lambda )}^{3/4}}}\over{{3^{3/4}} (\lambda -1)}},y= {{{\sqrt{2}} {\sqrt[4]{{{\lambda }^2}-\lambda }}}\over{{\sqrt[4]{3}}}}$

$\lambda = {{1}\over{8}} \left(4-{{13}\over{{\sqrt[3]{62-3 {\sqrt{183}}}}}}-{\sqrt[3]{62-3 {\sqrt{183}}}}\right)$

$\lambda = {{1}\over{2}}+{{13 \left(1+\mathrm{i} {\sqrt{3}}\right)}\over{16 {\sqrt[3]{62-3 {\sqrt{183}}}}}}+{{1}\over{16}} \left(1-\mathrm{i} {\sqrt{3}}\right) {\sqrt[3]{62-3 {\sqrt{183}}}}$

$\lambda = {{1}\over{2}}+{{13 \left(1- {\sqrt{3}}\right)}\over{16 {\sqrt[3]{62-3 {\sqrt{183}}}}}}+{{1}\over{16}} \left(1+ {\sqrt{3}}\right) {\sqrt[3]{62-3 {\sqrt{183}}}}$

Reálné řešení vyjde jen pro reálné (první) λ. Dva body řešení lze zapsat jako

$(x,y)=(\mathrm{Root}(16x^6-24x^4+13x^2-1,2),\mathrm{Root}(16x^6-24x^4+13x^2-4,2))\approx (0.302339, 0.953201),$

kde funkce $Root(P (x), n)$ dává n-tý kořen polynomu P(x) pro reálné kořeny řazeny vzestupně.

Z numerického řešení už je vidět, který z těchto dvou bodů je minimum a který maximum, abych předvedl metodu, ukážu ještě určení z druhého diferenciálu pro řešení 2 - minimum.

Použijeme bodu 2.

$2x\ \mathrm{d}x+2y\ \mathrm{d}y=0 \Rightarrow \mathrm{d}y=-{{2x}\over{2y}}\mathrm{d}x$