Úvod do algebry/Vektory

Z Wikiknih

Přejít na: navigace, hledání

Vektor je uspořádaná n-tice čísel.

O jaký druh čísel jde, určuje číselná množina, nad kterou je definován.

Nejčastěji užíváme dvoj- či trojrozměrné vektory definované nad množinou reálných čísel.

[editovat] Základní operace a axiomy

U všech vektorů definujeme dvě základní operace, a to:

  1. sčítání dvou vektorů
  2. násobení vektoru číslem

Výsledek obou operací je opět vektorem.

Souhrn všech vektorů nad daným tělesem s oběma těmito operacemi nazýváme vektorový prostor.

Sčítání vektorů je komutativní...

Pro takto zavedené sčítání a násobení musí platit následující axiomy:

  1. Sčítání je komutativní: \mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}
  2. Sčítání je asociativní: \mathbf{a} + (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \mathbf{c}
  3. Existuje nulový vektor \mathbf{o}: \mathbf{a} + \mathbf{o} = \mathbf{a}
  4. Ke každému vektoru existuje opačný vektor: \mathbf{a} + ( - \mathbf{a} ) = \mathbf{o}
  5. Násobení jedničkou vektor nezmění: 1 \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b}
  6. Násobení vektoru dvěma čísly je asociativní: b \cdot( c \cdot \mathbf{a}) = c \cdot( b \cdot \mathbf{a})
  7. Násobení vektoru součtem čísel je distributivní: (a + b ) \cdot \mathbf{c} = (a \cdot \mathbf{c}) + (b \cdot \mathbf{c})
  8. Násobení součtu vektorů číslem je také distributivní: a \cdot( \mathbf{b} + \mathbf{c}) = (a \cdot \mathbf{b}) + (a \cdot \mathbf{c})

Příklad

 Velmi často použijeme vektorový prostor nad reálnými čísly : a = (a1, a2, a3), kde a1 až a3 jsou reálná čísla a sčítání i násobení zavedeme obvyklým způsobem po složkách
Citováno z „http://cs.wikibooks.org/wiki/%C3%9Avod_do_algebry/Vektory“