Úvod do algebry/Vektory

Vektor je uspořádaná n-tice čísel.

O jaký druh čísel jde, určuje číselná množina, nad kterou je definován.

Nejčastěji užíváme dvoj- či trojrozměrné vektory definované nad množinou reálných čísel.

Základní operace a axiomy

U všech vektorů definujeme dvě základní operace, a to:

1. sčítání dvou vektorů
2. násobení vektoru číslem

Výsledek obou operací je opět vektorem.

Souhrn všech vektorů nad daným tělesem s oběma těmito operacemi nazýváme vektorový prostor.

Sčítání vektorů je komutativní...

Pro takto zavedené sčítání a násobení musí platit následující axiomy:

1. Sčítání je komutativní: $\mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {b} +\mathbf {a}$
2. Sčítání je asociativní: $\mathbf {a} +(\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} +\mathbf {b} )+\mathbf {c}$
3. Existuje nulový vektor $\mathbf {o}$: $\mathbf {a} +\mathbf {o} =\mathbf {a}$
4. Ke každému vektoru existuje opačný vektor: $\mathbf {a} +(-\mathbf {a} )=\mathbf {o}$
5. Násobení jedničkou vektor nezmění: $1\cdot \mathbf {b} =\mathbf {b}$
6. Násobení vektoru dvěma čísly je asociativní: $b\cdot (c\cdot \mathbf {a} )=c\cdot (b\cdot \mathbf {a} )$
7. Násobení vektoru součtem čísel je distributivní: $(a+b)\cdot \mathbf {c} =(a\cdot \mathbf {c} )+(b\cdot \mathbf {c} )$
8. Násobení součtu vektorů číslem je také distributivní: $a\cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(a\cdot \mathbf {b} )+(a\cdot \mathbf {c} )$

Velmi často použijeme vektorový prostor nad reálnými čísly : a = (a₁, a₂, a₃), kde a₁ až a₃ jsou reálná čísla a sčítání i násobení zavedeme obvyklým způsobem po složkách