Základy matematiky/Věty o pravoúhlých trojúhelnících
Pravoúhlý trojúhelník je takový trojúhelník, jehož dvě strany (zvané odvěsny) svírají u jednoho jeho vrcholu úhel 90°.
Existují věty, které se zabývají pravoúhlými trojúhelníky: Pythagorova věta, Euklidovy věty (o odvěsně a o výšce). Ještě se také pravoúhlými trojúhelníky pojí Thaletova kružnice.
Trojúhelník[editovat | editovat zdroj]
Trojúhelník vznikne zadáním 3 bodů v rovině tak, že tyto tři body neleží v jedné přímce. Každý trojúhelník má součet svých vnitřních úhlů roven 180°. Strany pravoúhlého trojúhelníku se nazávají přepona (nejdelší strana) a odvěsny (dvě kratší).
Abychom mohli sestrojit trojúhelník, pak musí být splněna trojúhelníková nerovnost.
Trojúhelníková nerovnost je : kde a, b, c, jsou strany trojúhelníku. CZ je cyklická záměna.
Trojúhelníky se dají třídit do různých skupin:
Trojúhelníky dle velikosti stran[editovat | editovat zdroj]
- různostranný (obecný) Δ
- nemá žádné shodné strany,
- rovnoramenný Δ
- má 2 shodné strany a základnu, u které jsou shodné úhly,
- rovnostranný Δ
- má všechny strany shodné a jeho vnitřní úhly jsou 60°,
Trojúhelníky dle velikosti úhlů[editovat | editovat zdroj]
- ostroúhlý Δ
- všechny jeho vnitřní úhly jsou ostré (to je od 0°do 90°),
- pravoúhlý Δ
- jeden jeho vnitřní úhel je pravý (to je 90°),
- tupoúhlý Δ
- jeden jeho vnitřní úhel je tupý (to je od 90°do 180°).
Pythagorova věta[editovat | editovat zdroj]
„Obsah čtverce, který sestrojíme nad přeponou pravoúhlého Δ se rovná součtu obsahů čtverců, které sestrojíme nad oběma odvěsnami pravoúhlého Δ.“
kde c je přepona, a, b jsou odvěsny pravoúhlého Δ.
Euklidovy věty[editovat | editovat zdroj]
Existují dvě tyto věty, a to Euklidova věta o odvěsně a o výšce.
Euklidova věta o odvěsně[editovat | editovat zdroj]
„Obsah čtverce, který sestrojíme nad odvěsnou pravoúhlého Δ, se rovná obsahu obdélníku, jehož strany jsou přepona (c) a úsek na přeponě k odvěsně přilehlé (ca).“
kde a je odvěsna, c je přepona, ca je úsek přepony, který je přilehlý ke straně a.
Euklidova věta o výšce[editovat | editovat zdroj]
„Obsah čtverce, který sestrojíme nad výškou pravoúhlého Δ, se rovná obsahu obdélníku, jehož strany jsou úseky na přeponě k odvěsné přilehlé (ca, cb).“
kde v je výška pravoúhlého Δ, ca, cb jsou úseky na přeponě (úsek ca je přilehlý ke straně a, úsek cb je přilehlý ke straně b).
Thaletova kružnice[editovat | editovat zdroj]
Je taková kružnice, kterou když sestrojíme ve středu přepony AB, tak získáme body, kde můžeme sestrojit všude Δy a vždy tyto Δy budou pravoúhlé (tedy kromě bodů AB).