Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

Z Wikiknih

Přejít na: navigace, hledání

Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou nečastěji řešíme pomocí tzv. nulových bodů.

[editovat] Rovnice s absolutní hodnotou

[editovat] Řešené příklady

Příklad 1:

| x − 2 | + | 2x − 8 | = 5

Řešení 1:

  • Nejdříve si najdeme nulové body. Najdeme je tak, že vynulujeme absolutní hodnotu. V našem případě je okamžitě vidět, že nulové body jsou: {2; 4}. Nulové body nám rozdělí množinu reálných čísel (číselnou osu) na tři intervaly.
  • Sestavíme tabulku:
(-\infty;2) \big(2;4\big) (4;\infty)
x − 2 − + +
2x − 8 − − +
  • Danou rovnici teď budeme řešit v jednotlivých intervalech:
    • x\in(-\infty;2)
\begin{array}{rcr} -(x-2)-(2x-8) & = & 5 \\ -3x+10 & = & 5 \\ -3x & = & -5 \\ x & = & \frac53 \end{array}
Platí, že \frac53\in(-\infty;2)? Platí. Máme tedy jedno řešení.
    • x\in(2;4)
\begin{array}{rcr} (x-2)-(2x-8) & = &5\\ -x+6 & = & 5\\ -x & = & -1\\ x & = & 1 \end{array}
Platí, že 1\in(2;4)? Neplatí. Toto není řešení.
    • x\in(4;\infty)
\begin{array}{rcr} (x-2)+(2x-8) & = & 5\\ 3x-10 & = & 5\\ 3x & = & 15\\ x & = & 5 \end{array}
Platí, že 5\in(4;\infty)? Platí. Toto je druhé řešení.
Řešení je tedy x\in\left\{\frac53;5\right\}
Citováno z „http://cs.wikibooks.org/wiki/Rovnice_a_nerovnice_s_absolutn%C3%AD_hodnotou“