Praktická elektronika/Spektrum signálu

Z Wikiknih

Přejít na: navigace, hledání

Zatím jsme se zabývali jen s harmonickým signálem (to je elektrické napětí/proud, který má sinusový průběh v čase). Často se ale setkáme s i s jinými, nesinusovými průběhy. Ukážeme si, že je jde výhodně vyjádřit jako součet sinusových průběhů.

Grafu, který to znázorňuje, se říká spektrum a samotná operace se označuje jako Fourierova transformace.


Obsah

[editovat] Spektrum sinusové vlny

Vezměme jednoduchou sinusovou vlnu s danou amplitudou (výchylkou) frekvencí = f0. Její průběh je:

U(t) = sin(f_{0}\cdot t)

Pro takovou vlnu pak vypadá spektrum takto:

Spectrum sinewave.svg


[editovat] Spektrum složeného signálu

Nyní vezměme signál, který je součtem dvou sinusovek o různé frekvenci:

U(t) = sin(f_{0}\cdot t) + \frac{sin(6\cdot f_{0}\cdot t)}{4}

Když je signál tvořen součtem více vln, uvidíme je v jeho spektru:

Spectrum sinewaves.svg

Rozložit signál na jednotlivé sinusovky je někdy velmi užitečné. Můžeme tak spočítat, jaký proud poteče lineárním obvodem pro každou frekvenci zvlášť a pak spočítané proudy prostě sečíst.

Poznámka Slabší frekvenční složka zde má právě šestkrát vyšší frekvenci než silnější. Když je signál složen výhradně z vln, jejichž frekvence je celočíselným násobkem základní (nejnižší) frekvence, je periodický (opakuje se). Další složky s vyššími frekvencemi se nazývají vyšší harmonické.

[editovat] Obdélníkový signál

Když budeme sčítat donekonečna sinusové vlny podle vzorce:

U(t) = \frac{sin(f_{0}\cdot t)}{1} + \frac{sin(3 f_{0}\cdot t)}{3} + \frac{sin(5 f_{0}\cdot t)}{5} + \frac{sin(7 f_{0}\cdot t)}{7} + \frac{sin(9 f_{0}\cdot t)}{9} + \frac{sin(11 f_{0}\cdot t)}{11} + \cdots,

bude signál stále hranatější a nakonec získá obdélníkový tvar:

Synthesis square.gif

Proto obsahuje spektrum obdélníkového signálu nekonečné množství vyšších harmonických:

Spectrum square.svg

[editovat] Trojúhelníkový signál

Podle jiného předpisu můžeme vytvořit trojúhelníkový signál:

U(t) = \frac{sin(f_{0}\cdot t)}{1^2} - \frac{sin(3 f_{0}\cdot t)}{3^2} + \frac{sin(5 f_{0}\cdot t)}{5^2} - \frac{sin(7 f_{0}\cdot t)}{7^2} + \frac{sin(9 f_{0}\cdot t)}{9^2} - \frac{sin(11 f_{0}\cdot t)}{11^2} + \cdots,

Všimněme si, že se ideálnímu tvaru přiblíží mnohem rychleji než obdélníkový signál:

Synthesis triangle.gif

Spektrum průběhů, které podobně jako trojúhelníkový neobsahují skoky, obsahuje výrazně slabší vyšší harmonické.

Spectrum triangle.svg

Poznámka Podobně se dají vyjádřit i jiné hezké signály jako pilový, obdélníkový s nestejnou délkou hran, různé oblouky, usměrněná sinusoida apod. Jejich vyjádření se nazývají Fourierovy řady a lze je modelovat na počítači nebo najít v tabulkách.

[editovat] Spektrum šumu

Sluneční světlo je krátkovlnné elektromagnetické vlnění, které má náhodný, šumový průběh. Proto v jeho spektru najdeme (skoro) všechny frekvence.

Průběh šumu se nikde neopakuje a najdeme v něm spojité spektrum:

Spectrum noise.svg

Podle tvaru spektra se rozlišuje řada různých druhů šumů (liší se i zvukem!).

[editovat] Ostatní průběhy

Fourierovu transformaci lze použít i na obecné průběhy (třeba tóny hudebních nástrojů nebo lidský hlas).

Nejen to, lze jím vyjádřit i průběhy neperiodické (tedy neopakující se v čase) - stačí do spektra zahrnout i velmi nízké frekvence.

Výborný applet na vyzkoušení je na stránkách http://www.falstad.com/fourier/.

Citováno z „http://cs.wikibooks.org/wiki/Praktick%C3%A1_elektronika/Spektrum_sign%C3%A1lu“