Lineární algebra/Grupa

Definice: Grupa je uspořádaná dvojice (G, •), kde G je množina prvků a • binární zobrazení $f:G\times G\mapsto G$ nad těmito prvky splňující následující axiomy:

1. Asociativita: $\forall a,b,c\in G$ (a • b) • c = a • (b • c)
2. Neutrální prvek: $\exists 0\in G\forall a\in G$ a • 0 = 0 • a = a
3. Inverzní prvek: $\forall a\in G\exists b\in G$ a • b = b • a = 0, takové b značíme a^-1

Názvosloví: Grupa je jakákoliv struktura vyhovující popsaným axiomům. Mnoho používaných grup je však založeno na číslech a jejich chování a pro takové útvary se hodí zavést ještě dva pojmy: aditivní a multiplikativní grupa. U aditivních grup značíme operaci symbolem + a neutrálnímu prvku říkáme nula, u multiplikativních grup tento operátor píšeme • a neutrálnímu prvku říkáme jednotka.

Cvičení: Jsou přirozená čísla grupou vůči „naší přirozené“ operaci sčítání či násobení? A co celá, racionální, popř. kladná racionální čísla?

Věta: Neutrální prvek je jednoznačně definován.

Věta: Inverzní prvek je pro každý prvek grupy jednoznačně definován.

Definice: Abelova grupa je grupa, pro kterou navíc platí axiom:

1. Komutativita: $\forall a,b\in G$ (a • b) = (b • a)

Poznámka: Na tuto vlastnost jsme tak navyklí, že si musíme dát pozor, abychom v počátcích nedělali na obyčejných, neabelovských grupách zakázané operace. Při úpravách rovnic kupříkladu musíme násobit vždy z jedné strany každého výrazu.

Některé jednoduché grupy

Celá čísla můžeme pojmout jako aditivní abelovu grupu. Nulový prvek je nula, inverz prvku a je -a.

Z_k neboli cyklická grupa o velikosti k jsou aditivní grupy, pro které sčítání probíhá modulo k. Pro Z₃ například operace • funguje takto:

•	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

Takové grupy jsou také abelovské.

Faktorgrupa

Definice: Podmnožina prvků G, pro kterou platí grupové axiomy na operaci přenesené z G, se nazývá podgrupa.

Definice: Normální je taková podgrupa, pro kterou platí $\forall g:\in Gg\cdot H=H\cdot g$. Takovým násobkům $g\cdot H$ se říká levé, popř. pravé rozkladové třídy.

Definice: Faktorgrupa je grupa těchto rozkladových tříd.