Integrování/Výpočet reálných integrálů pomocí reziduové věty

Z Wikiknih

Při výpočtu reálných určitých integrálů bývá často výhodné je převést na komplexní integrály po uzavřených křivkách a spočíst pomocí reziduové věty. Existuje několik standardních postupů, které tento článek shrnuje.

Obsah

1 Integrály <0;∞) funkce bez singularit na nezáporné reálné ose
2 Integrály (-∞;∞) funkcí bez singularit na reálné ose
3 Integrály <0;2π> racionálních výrazů z goniometrických funkcí
4 Integrály (-∞;∞) se singularitami na imaginární ose
5 Vzorce pro výpočet reziduí
6 Externí odkazy

[editovat] Integrály <0;∞) funkce bez singularit na nezáporné reálné ose

Integrály ve tvaru

$\int_{0}^{\infty} f(x) x^a\,\mathrm{d}x=(*),$

kde funkce f(x) nemá singularity na intervalu $<0;\infty)$ . Tento integrál převedeme na integrál funkce komplexní proměnné

$\int_{\gamma} f(z) z^a\,\mathrm{d}z=\int_{\gamma} f(z) e^{a \left(\operatorname{ln}\left|z\right|+i \operatorname{Arg\ }z\right)}\,\mathrm{d}z =I=I_1+I_2+I_3+I_4,$

Za integrační cestu zvolíme křivku podle obrázku. Jednotlivé úseky integrační cesty označíme v souladu s obrázkem jako integrály I₁,I₂,I₃, I₄, kde integrál I₁ se shoduje s integrálem (*). Funkce Arg z je zvolena tak, že podél celého I₁ je Arg z = 0. Aby funkce byla podél celé integrační cesty holomorfní, je nespojitost charakteristická pro funkce z^a zvolena podél reálné osy. Podél integrálu I₃ je tedy Arg z = 2 π a, a proto

$I_3 = \int_{-\infty}^{0} f(z) e^{a \operatorname{ln}\left|z\right|+2 i \pi a}\, \mathrm{d}z=-I_1 e^{2 i \pi a}.$

Za předpokladu $\lim_{R\rarr\infty}R \max\ \left|f(z) z^a\right|=0,$ tedy pokud f(z) z^a jde s rostoucím R k nule nejméně rychleji než 1/R, integrál I₂ vymizí. Obdobně za předpokladu $\lim_{\varepsilon\rarr0}\varepsilon \max\ \left| f(z) z^a\right|=0,$ tedy že f(z) z^a jde s $\varepsilon$ jdoucím k nule k nekonečnu alespoň pomaleji než $1/\varepsilon$ , vymizí integrál I₄. V souladu s předpokladem, že f(z) nemá v nule singularitu dostáváme podmínku $a > - 1$ .

Potom podle reziduové věty je

$I=I_1+I_2+I_3+I_4=I_1+I_3=I_1\left(1-e^{2 i \pi a}\right)=2\pi i\sum\operatorname{Res\ }f(x),$

tedy integrál

$I_1=2\pi i\frac{\sum\operatorname{Res\ }f(x)}{\left(1-e^{2 i \pi a}\right)},$

což ovšem platí jen není-li a celé (potom by byl jmenovatel nulový a výraz nemá smysl). Pro celé a je potřeba vyšetřit, zda je možné prohození limity a integrálu - je-li tomu tak, výsledkem je limita tohoto výsledku.

[editovat] Integrály (-∞;∞) funkcí bez singularit na reálné ose

Integrály ve tvaru

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x=I_1,$

kde funkce f(x) nemá singularity na intervalu $(-\infty;\infty)$ . Zapíšeme jako integrál fuknce komplexní proměnné

$\int_{\gamma} f(z)\,\mathrm{d}z,$

kde γ je funkce na obrázku a I₁ = (*). Lze-li aplikovat Jordanovo lemma, tedy za podmínky

$\lim_{R\rarr\infty}{R \max\left|f(z)\right|} = 0,$

kde maximum se počítá podél kružnice podle níž probíhá integrál I₂, platí I₂ = 0, tedy hodnota integrálu (*)=I₁ je dána jako

$I=I_1+I_2=I_1=2 \pi i\sum_{\operatorname{Im}(z)>0}\operatorname{Res\ }f(z)$

Mnohdy se s výhodou dá použít fakt, že pro horní půlkružnici skoro všude platí

$\lim_{R\rarr\infty}{R \max\left|e^{i z}\right|} = 0,$ a že

$\int_{I_2}{\frac{e^{i z}}{R^\alpha}} = 0 \ \mathrm{ pro }\ \alpha>0.$

Stačí tedy, aby funkce přenásobená exponenciálou ve tvaru výše klesala podél celé horní půlkružnice v absolutní hodnotě k nule, není již potřeba, aby klesala alespoň rychleji než $1 / R$ .

[editovat] Integrály <0;2π> racionálních výrazů z goniometrických funkcí

Je-li integrál daný ve tvaru

$\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{R}\left(\sin x,\cos x\right)\,\mathrm{d}x=I,$

kde R je racionální výraz funkcí sinus a kosinus, můžeme jej považovat za komplexní integrál po libovolné křivce délky 2 π. Nechť tato křivka je jednotková kladně orientovaná kružnice (viz obrázek). Převedeme jej na integrál komplexní proměnné podle identit

$\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},$

$\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},$

s parametrizací

$z = e^{i x},\,$

$\mathrm{d}z = i e^{i x} \mathrm{d}x.\,$

Proto (po dosazení za dx a x) integrujeme

$\int_{\gamma} \frac{1}{i z} \mathrm{R}\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)\,\mathrm{d}z=I.$

Pokud funkce uvnitř integrálu nemá na jednotkové kružnici singularity, spočteme jej jednoduše pomocí reziduové věty jako

$I= 2 \pi i \sum_{\operatorname{abs} (z)<1}\operatorname{Res} \left( \frac{1}{i z}\, \mathrm{R}\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right) \right).$

[editovat] Integrály (-∞;∞) se singularitami na imaginární ose

$I_1=\int_{-\infty}^{\infty}f(z)\,\mathrm{d}z$

Po integrační cestě (na obrázku) integrujeme funkce, které mají na imaginární ose singularity v libovolné vzdálenosti, a nelze tedy použít Jordanovo lemma. Pro použití následující integrační cesty je potřeba, aby integrály I₂, I₄ ve velké vzdálenosti vymizely a aby se dal integrál I₃ napsat jednoduchou závislostí na integrálu I₁ (což zpravidla znamená, že f(z) je nějak symetrická vůči posunu podél imaginární osy). Z výsledného výrazu a reziduové věty dopočítáme hodnotu integrálu I₁.

[editovat] Vzorce pro výpočet reziduí

Přeloženo z anglické Wikipedie

Má-li holomorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

$\begin{matrix} \\ \operatorname{Res} \\ { }^{z=c} \end{matrix}\ f=\lim_{z\to c}(z-c)f(z),$

nebo přímo použitím reziduové věty

$\begin{matrix} \\ \operatorname{Res} \\ { }^{z=c} \end{matrix}\ f = {1 \over 2\pi i} \int_\gamma f(z)\,dz$

kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.

Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako

$\begin{matrix} \\ \operatorname{Res} \\ { }^{z=c} \end{matrix}\ f = \frac{g(c)}{h'(c)}.$

Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c a pól řádu n vyjádřeno jako:

$\begin{matrix} \\ \operatorname{Res} \\ { }^{z=c} \end{matrix}\ f = \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lim_{z \to c} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)^{n-1}\left( f(z)\cdot (z-c)^{n} \right).$

Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |z − c| < R }, potom Res[f]_z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

[editovat] Externí odkazy

Studijní text k přednáškám Doc. RNDr. Mirka Rokyty, CSc.

Integrování/Výpočet reálných integrálů pomocí reziduové věty

Z Wikiknih

Obsah

[editovat] Integrály <0;∞) funkce bez singularit na nezáporné reálné ose

[editovat] Integrály (-∞;∞) funkcí bez singularit na reálné ose

[editovat] Integrály <0;2π> racionálních výrazů z goniometrických funkcí

[editovat] Integrály (-∞;∞) se singularitami na imaginární ose

[editovat] Vzorce pro výpočet reziduí

[editovat] Externí odkazy

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledat

Navigace

Tisk/export

Nástroje