Geometrie/Vzájemná poloha dvou přímek

Rovnoběžky p₁ a p₂.

Různoběžky p₁ a p₂ s průsečíkem P.

Mimoběžky p₁ a p₂.

V rovině

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě – průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Algebraické řešení

Mějme dvě přímky v rovině dané směrnicovými rovnicemi

$y=k_{1}x+q_{1}$

$y=k_{2}x+q_{2}$

popř. obecnými rovnicemi

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$

$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$

Dvě přímky v rovině jsou rovnoběžné, pokud mají stejné směrnice. Jsou-li tedy dvě přímky zadány směrnicovými rovnicemi, pak podmínka rovnoběžnosti má tvar

$k_{1}=k_{2}$

Jsou-li přímky zadány obecnými rovnicemi, pak podmínku rovnoběžnosti lze vyjádřit pomocí determinantu jako

${\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$

Přímky zadané rovnicemi směrnicovými rovnicemi jsou kolmé, pokud jejich směrnice splňují podmínku $k_{1}k_{2}+1=0$, kterou obvykle zapisujeme jako

$k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}$

Rovnice zadané v obecném tvaru jsou kolmé pokud splňují podmínku

$a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0$

Průsečík dvou přímek zadaných směrnicovými rovnicemi získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

$x_{P}={\frac {q_{1}-q_{2}}{k_{2}-k_{1}}}$

$y_{P}={\frac {q_{1}k_{2}-q_{2}k_{1}}{k_{2}-k_{1}}}$

Podobně pro průsečík přímek zadaných obecnými rovnicemi dostaneme

$x_{P}={\frac {\begin{vmatrix}b_{1}&c_{1}\\b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}$

$y_{P}={\frac {\begin{vmatrix}c_{1}&a_{1}\\c_{2}&a_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}$

Z předchozích vztahů je vidět, že pokud je splněna podmínka rovnoběžnosti, tak přímky jsou rovnoběžné a nemají tedy průsečík.

Odchylka $\varphi$ dvou různoběžných přímek zadaných směrnicovými rovnicemi je pro $k_{1}k_{2}\neq -1$ dána vztahem

$\operatorname {tg} \varphi =\left|{\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|$

Jsou-li rovnice zadány obecnými rovnicemi, pak pro odchylku dostáváme

$\operatorname {tg} \varphi =\left|{\frac {a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}\right|$

pro $a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\neq 0$.

V prostoru

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Poloha přímek v rovině je speciálním případem polohy přímek v prostoru.

Algebraické řešení

Dvě přímky zadané obecnými rovnicemi tvoří soustavu

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$

$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$

$a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_{3}=0$

$a_{4}x+b_{4}y+c_{4}z+d_{4}=0$

Tyto dvě přímky se protínají v jednom bodě právě tehdy, když platí

${\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\a_{4}&b_{4}&c_{4}&d_{4}\end{vmatrix}}=0$

Máme-li dvě přímky vyjádřené vztahy

$y=m_{1}x+q_{1}$

$z=n_{1}x+r_{1}$

$y=m_{2}x+q_{2}$

$z=n_{2}x+r_{2}$

Pak podmínku, aby se tyto přímky proťaly lze zapsat

${\frac {q_{1}-q_{2}}{r_{1}-r_{2}}}={\frac {m_{1}-m_{2}}{n_{1}-n_{2}}}$

Pro souřadnice průsečíku pak platí

$x_{P}={\frac {q_{2}-q_{1}}{m_{1}-m_{2}}}={\frac {r_{2}-r_{1}}{n_{1}-n_{2}}}$

$y_{P}={\frac {m_{1}q_{2}-m_{2}q_{1}}{m_{1}-m_{2}}}$

$z_{P}={\frac {n_{1}r_{2}-n_{2}r_{1}}{n_{1}-n_{2}}}$

Pokud se takové přímky protínají, pak jejich odchylku $\varphi$ určíme jako

$\cos \varphi ={\frac {\left|1+m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}\right|}{\sqrt {(1+m_{1}^{2}+n_{1}^{2})(1+m_{2}^{2}+n_{2}^{2})}}}$

Podmínku rovnoběžnosti přímek lze pak vyjádřit jednoduchými vztahy $m_{1}=m_{2}$ a $n_{1}=n_{2}$. Přímky jsou kolmé, je-li splněna podmínka $1+m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}=0$.

Mějme přímky vyjádřeny rovnicemi

${\frac {x-x_{1}}{\cos \alpha _{1}}}={\frac {y-y_{1}}{\cos \beta _{1}}}={\frac {z-z_{1}}{\cos \gamma _{1}}}$

${\frac {x-x_{2}}{\cos \alpha _{2}}}={\frac {y-y_{2}}{\cos \beta _{2}}}={\frac {z-z_{2}}{\cos \gamma _{2}}}$

Odchylka těchto přímek se určí jako

$\cos \varphi =\cos \alpha _{1}\cos \alpha _{2}+\cos \beta _{1}\cos \beta _{2}+\cos \gamma _{1}\cos \gamma _{2}$

Podmínku rovnoběžnosti takovýchto přímek lze zapsat rovnicemi $\cos \alpha _{1}=\cos \alpha _{2},\cos \beta _{1}=\cos \beta _{2},\cos \gamma _{1}=\cos \gamma _{2}$. Podmínku kolmosti lze vyjádřit jako $\cos \alpha _{1}\cos \alpha _{2}+\cos \beta _{1}\cos \beta _{2}+\cos \gamma _{1}\cos \gamma _{2}=0$.

Vzdálenost $\delta$ dvou mimoběžných přímek udává vztah

$\delta =\left|{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&y_{1}-y_{2}&z_{1}-z_{2}\\\cos \alpha _{1}&\cos \beta _{1}&\cos \gamma _{1}\\\cos \alpha _{2}&\cos \beta _{2}&\cos \gamma _{2}\end{vmatrix}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}\cos \beta _{1}&\cos \gamma _{1}\\\cos \beta _{2}&\cos \gamma _{2}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}\cos \gamma _{1}&\cos \alpha _{1}\\\cos \gamma _{2}&\cos \alpha _{2}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}\cos \alpha _{1}&\cos \beta _{1}\\\cos \alpha _{2}&\cos \beta _{2}\end{vmatrix}}^{2}}}}\right|$

Související články

• Přímka
• Geometrie/Vzájemná poloha bodu a přímky

Externí odkazy

Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi