Geometrie/Hermitova kubika

Z Wikiknih

Obsah 1 Popis 2 Vyjádření 3 Vlastnosti 4 Algoritmizace 5 Autoři

[editovat] Popis

Známe-li dva řídící body a jejich tečné vektory, můžeme použít Hermitovu interpolaci a nalézt tzv. Hermitovu kubiku. Poloha této křivky je tedy určena dvěma řídícími body a její tvar závisí na velikosti a směru jejich tečných vektorů. Této interpolace se využívá např. v C1 kubické interpolaci, která je představitelem interpolace po obloucích.

[editovat] Vyjádření

Hemitova kubika bývá nejčastěji vyjádřena ve tvaru

kde

jsou počáteční resp. koncový bod a jsou tečny v počátečním resp. koncovém bodě,

jsou kubické Hermitovy polynomy tvaru:

a náleží do intervalu .

Snadno se dá ukázat, že platí:

[editovat] Vlastnosti

Čím je velikost vektoru větší, tím více se k němu křivka přimyká. Jsou-li oba vektory nulové, pak křivka degeneruje na úsečku mezi zadanými body.

[editovat] Algoritmizace

Implementace se skládá ze dvou stěžejních funkcí:

hermituvPolynom(int m, double t) 

implementace Hermitových polynomů,

GetPoint(double t) 

vrací bod pro parametr t (z intervalu (0,1)) na Hermitově kubice.

Popišme si některé třídy a metody, jež algoritmus využívá.

Vector 

třída popisující vektor,

Math 

objekt prostředí CLR nabízející matematické metody,

Math.Pow 

mocnina,

Richpoint 

třída popisující bod,

ctrlPoly 

body řídícího polygonu.

// Vraci kubický hermitův polynom 
private double hermituvPolynom(int m, double t)
{
 switch(m)     // index hermitova polynomu
 {
  case(0): return 2*Math.Pow(t,3)-3*Math.Pow(t,2)+1;
  case(1): return Math.Pow(t,3)-2*Math.Pow(t,2)+t;
  case(2): return -2*Math.Pow(t,3)+3*Math.Pow(t,2);
  case(3): return Math.Pow(t,3)-Math.Pow(t,2);
 }
 return 0.0;
}

// vrací bod na Hermitově kubice
public override Vector GetPoint(double t)
{
  Vector result=new Vector(); // vysledný vektor
  Vector v;
  int ictr = 0, ideriv = 0;

  // hodnoty pro řídící body
  for (int k = 0; k < 4; k++) {
    v = k%2==0 ?
      ((RichPoint)ctrlPoly[ictr++]).Locate :   // řídící body
      (Vector)tecneVektory[ideriv++];          // tečné vektory
    result += hermituvPolynom(k, t) * v;
  }
  return result;
}

[editovat] Autoři

Tento text vypracovali studenti Univerzity Palackého v Olomouci katedry Matematické informatiky jako zápočtový úkol do předmětu Počítačová geometrie.