Geometrie/Frenetův trojhran

Z Wikiknih

Obsah 1 Vektor tečny 2 Vektor hlavní normály 3 Vektor binormály 4 Frenetův trojhran 5 Algoritmus

[editovat] Vektor tečny

Nechť je křivka k třídy Cⁿ v prostoru E₃ dána vektorovou rovnicí s parametrem typu oblouk

.

Potom jednotkový vektor

,

budeme nazývat vektorem tečny křivky k v bodě F(s). Tento vektor mění svou orientaci při přechodu k jinému oblouku, který mění orientaci křivky.

[editovat] Vektor hlavní normály

Jednotkový vektor

,

budeme nazývat vektorem hlavní normály křivky k v bodě F(s). Vektor hlavní normály je nezávislý na volbě oblouku.

[editovat] Vektor binormály

Jednotkový vektor daný vektorovým součinem vektoru tečny a vektoru hlavní normály, tedy

,

budeme nazývat vektorem binormály křivky k v bodě F(s). Tento vektor je kolmý na vektor tečny a vektor hlavní normály. Je patrné, že vektor binormály bude měnit svou orientaci při přechodu k oblouku, který mění orientaci křivky.

[editovat] Frenetův trojhran

Uspořádanou trojici vektorů, kterou tvoří vektor tečny, vektor hlavní normály a vektor binormály, tedy

,

budeme nazývat Frenetovým trojhranem křivky v bodě F(s).

[editovat] Algoritmus

Tečný vektor je roven první derivaci křivky v bodě

public static Vector3d Tecna(Curve krivka, double u)
{
  return krivka.FirstDeriv(u).UnitVector(); //UnitVector - převede vektor na jednotkový
}

Vektor hlavní normály je kolmý na tečný vektor a leží v oskulační rovině

public static Vector3d HlavniNormala(Curve krivka, double u)
{
  return krivka.SecondDeriv(u).Ortogonal(krivka.FirstDeriv(u)).UnitVector();
  //a.Ortogonal(b) - ortogonalizuje vektor a podle vektoru b
}

Vektor binormály je roven vektorovému součinu tečného vektoru a vektoru hlavní normály

public static Vector3d Binormala (Curve krivka, double u)
{
  Vector3d t=Tecna(krivka,u);
  Vector3d n=HlavniNormala(krivka,u);
  return t.CrossProduct(n); //vektorový součin
}